任意载荷作用下工字钢截面最大应力位置的数学证明

    1　引　　言

工字钢由于其截面良好的力学特性,在工程 结构中被广泛的应用,金属结构中的横梁和铁道 上的导轨是应用这类截面的典型。这种类型的横 截面可以以较小的体积承担较大的载荷,是承载 横梁最理想的截面。工程力学给出了该类截面受 载结构的应力结果,从数学上未作出论证,本文拟 从数学角度去证明力学分析得出的结论。

    2　力学结果

工字钢横梁,其截面如图所示,从材料力 学[1]可知,当横梁Z轴方向受到非偏心的轴向拉 伸或压缩的载荷时,其横截面上各点处正应力是 相同的;当在yoz平面受到横向载荷作用,如集中 力P、分布力q(z)或集中力偶矩m时,其横截面 上就既有正应力,又有剪应力。最大正应力σmax 的绝对值出现在横截面的上、下边缘上,即1、2、5 点连线上或3、4、6点的连线上,最大剪应力τmax 则发生在7、0、8点的连线上;当横梁两端固定而 温度有变化时,横截面上各点处只有正应力且各 处相同;当横梁两端受扭时,求其应力就复杂些, 但弹性力学有结论[2],其最大剪力τmax发生在7、8 点上。

由上可见,各种载荷单独作用下产生的正应 力、剪应力的值在边界上均大于或等于域内,几种 载荷同时作用时,根据叠加原理,其应力的最大值 必在横截面周边上的某一点上,不可能在域内。

    3　数学证明

工字钢横截面是一个单连通有界区域,按照 解析函数理论,在某一单连通域D内,若有二元 函数Z(x,y)具有二阶连续偏导数并且满足 Laplace方程

工字钢横截面上的应力分析一般视为平面应 变问题,横截面上有应力分量σx、σy和τxy,它们都 是坐标x,y的函数。在单连通域和常体力的情况 下,应力分量应满足平面问题的协调方程

  2(σ_x+σ_y)=0 (2)

         比较(1)式和(2)式,可以看出

z=σ_x+σ_y(3)

         由于Z为调和函数,故σx+σy也是调和函数。为了简化方程(2)的求解,艾瑞[3]提出了用一个二维函数φ(x,y)来表示横截面上应力分量,即:

        这个函数称为艾瑞应力函数。将(4)式代入到(2)式,得到用应力函数表示的相容方程:

(5)式在数学上称为双调和方程,应力函数φ (x、y)应当是双调和函数。于是求解弹性力学的 平面问题,实质上是求解双调和方程(5)的边值问 题,故解析函数理论的全套方法都可应用。 除了正应力外,横截面上还有剪应力,假设 τxy是调和函数,按调和函数的定义,须有