面向随机振动功率谱估计的小波变换去噪算法理论分析

    振动试验的目的在于确定所设计的设备在运输、工作过程中能承受外来或者自身产生的振动而不被破坏，能正常发挥性能，并达到预定的使用寿命。振动大约占整个环境因素的 27%，可见振动试验在环境试验中的重要地位［1 －3］。在可靠性振动试验中，随机振动谱均衡控制中首先是通过对功率谱的估计，再利用均衡控制算法与参考谱进行比较迭代，最终使控制谱收敛到参考谱。实验证明谱估计的误差会引起自调整算法误差显著增大甚至不能收敛［4］。传统基于 FFT 的周期图法对功率谱作估计由于缺少对估计值的统计平均，因此产生方差大［4 －10］，韦斯 ( Welch) 法，可以减小谱估计的误差，却降低了谱估计的频率分辨率［11］。增大处理数据量提高频率分辨率的同时造成系统回路时间变大，影响到系统的均衡性能。小波变换是一种时间－ 尺度分析方法，具有多分辨分析的特点，且具有时频两域表征信号局部特征的能力［6. 9］，很适合于振动频谱均衡控制，如 B． Williams［12］、LIU 的研究［4］。

    在通过对小波系数进行阈值处理去除低幅度噪声时，由于振动谱对数域中噪声统计模型在各频率点是相关的，这为小波去噪方法直接应用振动功率谱估计提出了难题。另外，振动功率谱通常存突变和间断现象，在采用软阈值方法时得到的估计信号在间断处会显得比较模糊，且整体误差较大。而硬阈值方法在间断点附近会产生伪 Gibbs 现象。实际上，软、硬阈值方法在去噪和保护间断方面处于两个极端，若适当将这两种方法折衷，则能够取得更好的去噪效果，从而提高谱均衡的整体性能。为此，本文通过对随机振动谱的统计模型进行分析，推导出非线性阈值与小波变换尺度之间的关系，为滤波去噪提供依据，也为自适应阈值算法提供理论支撑。

    1 面向振动谱估计的小波变换去噪阈值理论分析

    1. 1 谱估计统计特征及其噪声模型

    对零均值的平稳高斯过程{ x( t) ，t: 0，1，． ． ． ，2N － 1} ，加 w( t) 窗的傅里叶变换为:

    直接谱估计器 ( 当加窗为矩形窗则为周期图谱估计器 P^ ( p)) 及其协方差表示为:

    对于普遍采用的多窗谱估计器，设 { v( n)( t) :n，t = 0，1，． ． ． ，2N － 1} 是一组标准正交的多窗口序列，则 MTSA 谱估计器可表示为:

    对应特征谱 P^ ( m)j、P^ ( m)k的协方差、方差分别为:

    若信号序列 { x( t) ，t: 0，1，． ． ． ，2N － 1} 是零均值的高斯白噪声，方差为 σ2，则式 ( 5) 可写为: