纳米接触问题的连续方法建模与计算

　　1　引　　言

　　随着材料尺寸、加工尺寸的日趋减小,尺寸效应对微机械系统性能的影响显得越来越突出,在宏观领域被忽略的粘着力在微机械系统中变得越来越重要, 在某些情况下甚至成为决定一个微系统能否工作的关键因素[1～3]。居建华等[4]指出采用常规的连续方法研究微观世界物质间的相互作用已不能反映微观世 界的规律。田文超等[5]将目前研究离散的微观物质世界的方法归结为3种:(1)根据量子力学理论,用薛定方程求解;(2)利用分子动力学方法模拟离散分 子、原子等的运动;(3)根据Hamaker3个假设,通过修正宏观方法,用连续方法计算;并指出由于量子力学方法和分子动力学模拟方法存在海量计算,且 计算结果无法归纳为实用计算公式的缺点,提出对于微观世界物质间相互作用的工程实际问题,通常采用第3种方法,即利用连续方法计算。

　　这里针对影响微电子机械系统的粘着力,建立了纳米接触的弹性球球和球面模型;根据Hamaker3个假设和Hertz理论分析计算了在考虑粘着力情况下的球球和球面接触半径;为纳米接触、纳米摩擦的进一步研究提供理论基础。

　　2　Hamaker假设及微观世界物理模型

　　在微观领域,当两个固体间接触距离很小时,该两个固体中的原子产生原子间力,原子间力的作用反映在宏观领域即为固体间的粘着力。两个原子间的作用力为[6～7,9]:

　　式中:f1、f2分别为吸引力和排斥力;A、B分别为吸引和排斥常数;d为原子间距。固体微观接触中,两个固体间的斥力平衡了其间的引力和外加的接触压力,而且在工程实际中,由于影响微观物质相互作用的力主要是吸引力,所以这里只考虑两个固体间的粘着力(f1)。

　　Hamaker的3个假设[8～9]为用连续方法计算微观问题提供了理论基础:

　　(1)离散模型可加性假设:任何两个物体之间的作用力由构成该两个物体的原子对之间的作用力累加求和得到;

　　(2)连续介质假设:任何物体由数值密度为ρ的dV连续构成;

　　(3)均质材料假设:任何物体的数字密度ρ和引力常数A不变。

　　根据3个假设,Hamaker提出对于A、B两个物体之间的相互作用力为:

　　3　纳米接触模型

　　3.1　点-球模型

　　图1所示为任一点A与球S相互作用力模型,球心在坐标原点,球半径为R,点A在Z轴上,E为球内任意一点。点A与球心的间距为:

　　由问题本身的对称性可得Fx=Fy=0,Fz=Fcosα。根据Hamaker假设,由式(1)～式(5)得点A与球S之间的相互作用力为:

　　3.2　球-球模型