单个厚电极超声换能器振子的频率方程

　　旋转超声加工是加工硬脆材料的一种较好方法,在国内外引起人们的广泛重视[1～5]。超声换能器振子按电极厚度的不同,可以将其分为薄电极和厚电极两种类型。薄电极换能器振子,设计时电极厚度可以不计,计算较为简单[6,7],但薄电极连线麻烦,工作时不利于散热,严重时可使压电陶瓷片破碎,难以满足超声加工的长时间连续工作。厚电极换能器振子可解决上述问题,但目前对厚电极换能器振子的研究较少,使用时通常采用简化计算与实验调整相结合的方法,这一定程度上阻碍了厚电极换能器振子的广泛应用。为较精确地设计厚电极换能器振子,推导了单个厚电极节面在中时的频率方程,并使用模态实验分析和有限元仿真相结合的方法,对频率方程进行了验证。

　　1　超声换能器振子设计的理论基础

　　下面引用任意截面细杆的振动方程及其解,这是进行换能器振子设计的理论基础[6]。假设有一任意截面的均匀细杆,长为L,截面积函数为S(x),质量密度为ρ,弹性模量为Y。如果横截面积比较小,如小于工作频率所对应的材料中传播波长的1/4,可视为细杆作一维纵振动;取细杆中心线为X轴,左端面为原点,任意一点的振动波速为v(x,t),如图1所示。

　　任意截面细杆作一微纵振动的波速方程为

　　式中:k为波数,,其中X为角频率,c为细杆中的纵波速,材料一定时,它是个常数。

　　将任意截面杆转化为均匀等截面细杆,求解振速方程可得振速和应力的通解为:

　　其中Z为材料的特性声阻抗,Z=ρcS,A、B为待定系数。

　　2　节面在中时的频率方程推导

　　换能器振子的节面,理论上可以处于换能器振子的任意位置,设计时通常设定在如下3种位置:换能器振子的中间,前匹配块与压电陶瓷的结合面、后匹配块与压电陶瓷的结合面,分别称为节面在中、节面在前、节面在后。由于设计时压电陶瓷片的厚度是一定的,因而只要给定换能器振子的设计频率,根据频率方程便可求解前后匹配块的长度尺寸。类比薄电极换能器振子的频率方程推导方法,不考虑紧固螺钉对频率方程的影响,换能器振子由前后两个匹配块、压电陶瓷片和厚电极组成,如图2所示。为表示清楚起见,将中间部分的压电陶瓷片、厚电极的直径缩小表示,实际上各组成部分是等直径的。其中, 3代表后匹配块, 6代表前匹配块, 2、5是压电陶瓷片, 1、4是被节面分开的电极,它们的长度用l加相应下标表示,如后匹配块长度用l3表示。材料密度、纵波声速、特性阻抗分别用Q、c及Z表示。假定换能器振子的前表面振速为vf,应力为F,后表面振速为vb,由于通常换能器振子的后表面(振子尾端)暴露在空气中,所以其应力为零,换能器振子中其他各点的振速v和F应力分别用和加相应下标来表示。根据超声波振动在分界面处振速和应力连续,可得节面左侧的边界条件方程。