二维声学数值计算的径向插值有限元法

    0 引言

    声学数值计算是噪声控制和预测的关键技术,是进行结构噪声预测和优化设计的基础。近年来,针对Helmholtz声学方程的数值计算方法的研究是计算声学 研究的一个热点,其研究重点在于如何提高声学数值计算的精度、效率以及算法的适用性。声学数值方法主要有有限元法(f-inite element method, FEM)[1O5]和边界元法[6O7]等。由于边界元法在求解声学问题时系数矩阵并非稀疏矩阵,计算效率受模型大小限制,故实际工程中经常运用FEM来 计算声学问题。运用FEM求解声波方程时存在数值色散问题,即数值波的相位误差在高波数时色散严重。为了获得高波数问题的可靠计算结果,通常需要更精细的 单元和更高阶的多项式近似函数,这势必增加计算时间和存储空间。为了降低色散效应,Petersen等[8]将高阶谱单元形函数应用到内部声学分析中,以 提高其计算精度和效率;Rong等[9]将谱单元方法应用到声学波动方程的数值求解中,结果表明谱单元方法有很好的稳定性和收敛精度。

    近年来,无网格技术在声学波动方程计算中的应用有很大发展。Bouillard等[10]将无单元Galerkin法应用到声学数值计算中,计算结果的色 散误差明显小于FEM计算结果的色散误差。移动最小二乘法[10]和改进无单元Galerkin法[11]也应用于声学计算中,并提高了计算精度和收敛速 度。尽管无网格法能减小声学波动方程的色散误差,提高计算精度,且其计算模型不需要划分网格单元(如FEM),但其本身存在诸多缺陷,如某些无网格法中形 函数不具备克罗内克尔-D性质,导致边界条件实施困难、计算效率降低等。

    针对FEM和无网格技术的特点,有学者将FEM和无网格技术相结合,提出混合有限元-无网格法来分析各种力学问题。其中,单位分解有限元法[12]是一种 常用的混合方法,其基本原理是在不增加支撑点的前提下,通过增加局部支撑函数的阶次构造高阶的全局有限元公式。Zhang等[13]和Rajendran 等[14]提出了一种基于单位分解的有限元-无网格四边形单元,该单元将有限元形函数和最小二乘点插值形函数相结合,综合了有限元法和无网格法各自的优 点,其形函数具有克罗内克尔-D性质,具有单元兼容性以及高阶完备性。这种方法已经成功地应用于静力学和动力学分析中,但在声学波动方程计算中的应用尚未 见研究。

    在声学数值计算中,由于数值色散效应导致计算误差随着波数k的增大而增大。为了解决这一问题,本文将混合有限元-无网格法思想推广到声学波动方程计算中, 推导了有限元-最小二乘点插值法(finite element-least square pointinterpolation method, FE-LSPIM)求解声学波动方程的公式,给出了FE-LSPIM数值求解声学波动方程的计算过程。FE-LSPIM的形函数继承了最小二乘点插值法 (LSPIM)和FEM各自的优点,同时摒弃了它们的不足,计算所用的网格单元与FEM相同,其实现过程与FEM类似,并且简单可靠。为了验证FE- LSPIM求解声学波动方程的有效性,给出了二维管道声腔和车内声腔模型两个算例,结果显示:FE-LSPIM在分析声学问题时比FEM有更高的精度和更 好的收敛性,其计算结果数值色散误差较小。