小型磁偏转质谱计磁场的分析计算

　1 引 言

　　磁偏转质谱计稳定性好、定量性好、丰度灵敏度高，被广泛应用在星球探测、航天器环境分析、工业过程控制、食品安全、药物检测和疾病诊断等诸多领域。磁偏转质谱计磁分析器的主要作用就是为质谱计提供均匀恒定的磁场，当离子在垂直于磁场的平面上运动时，不同荷质比的离子有不同的偏转半径，从而实现对离子的分离。因此质谱计工作性能的优劣很大程度上取决于磁分析器的合理设计。为了优化结构、减轻质量，需要对其磁场的大小和分布，做出严密的分析与准确的计算。这样有助于所选用的磁性材料得到合理利用，充分发挥出材料的性能。

　　对于磁场的计算问题一直是磁工技术工作者关注的重点和难题。如今对磁场的计算已经发展了很多种解析的方法，如级数解法、保角变换法和变分公式法等。然而问题在于这些解析法的缺点是缺乏普遍性，所以限定了它们只能处理最简单的情形。通常它们局限于稳恒状态情形，多数情况下只能用于二维空间。而对于复杂的磁场问题，想得到其解析表达式是极其困难的，此时只有借助数值方法来求解微分方程或积分方程。

　　在磁场的数值计算方法主要有有限差分法^[1]、边界元法^{[2, 3]}和有限元法^{[4, 5]}等。在这几种方法中，有限元法适用性最强，几乎能处理所有的电磁场问题。

　　作者从 Maxwell 方程组出发，引入磁标势 φ，根据泛函理论建立与之对应的变分形式，然后利用变分原理建立求解磁场分布的有限元模型，获得了磁分析器空间磁场的分布情况，重点研究了在其磁场均匀区域内 2条轨道上的磁场分布，为校准磁分析器边缘场区域提供了理论依据。

　　2 磁场计算的物理模型

　　对于铁磁体系统，其磁场满足的方程为

　　式中 H 为磁场强度(单位为 A/m);B 为磁感应强度(单位为 T);M_⁰为铁磁体的剩余磁化强度;μr为铁磁材料的相对磁导率。

　　把方程(3)代入方程(2)，得

　　根据方程(1)，H 可表为一个标量 φ 的梯度

　　此外根据磁荷观点，在磁体内部存在体磁荷，其密度

　　由方程(4)、(5)和(6)，有

　　在磁体界面两侧场量发生跃变，其边界满足第二类边界条件

　　式中 σm为面磁荷密度(单位为 Wb/m²)。

　　于是方程(6)和(7)对应的泛函为

　　即 δT=0。再加上第一类边界条件

　　方程(9)和(10)两式共同构成了完整的变分形式。其中，Ω 为求解域;Ω_¹为铁磁体系统的积分区域;Г2为铁磁体系统的边界区域。