极坐标系中平行双关节坐标测量机数学建模

　　三坐标测量机是近30余年来迅速发展起来的新型精密测量仪器,它的用途广泛,可用于多种制造业的各种零件形体几何参数测量,在现代制造业中,已越来越显示出它的重要地位与作用以及广阔的发展前景,甚至被纳入自动化生产和柔性加工线,成为一个重要的组成部分。

　　传统的正交三坐标测量机的功能愈来愈强、精度愈来愈高,但成本也相应增大,价格昂贵。另外,其体积一般较为庞大,不利于携带、搬迁,且对测量环境条件要求较苛刻,很难在生产中进行广泛应用。

　　随着坐标测量机的成熟和大型工程测量实践的需要,近年对非正交坐标测量机的研究越来越多。1986年日本小阪研究所提出关节式坐标测量机,国内高校也对6自由度关节式柔性坐标测量机进行了大量的研究工作[1],研究内容涉及测量模型[2]、误差模型[3]、参数识别与标定等[4],但这种类型的坐标测量机需要较多昂贵的精密测角系统,同时限于其结构形式精度很难提高。已有的数学模型中,大多是运用D-H建模,模型十分复杂。可以通过在关节臂测量机各个关节处建立极坐标系,在极坐标系下建立更为简洁的数学模型。

　　1　平行双关节坐标测量机机械结构

　　平行双关节坐标测量机一共由三个关节和测头串联而成,两个转动关节,一个平移关节(有参考文献称该关节为移动关节,在这里统一称之为平移关节),如图1所示1和3为2个旋转关节。在旋转关节上装有高精度角度编码器,可以精确测得两关节和两关节臂之间相互旋转所得角度。5为Z轴及平移关节所在位置,其上装有精密导轨和光栅可以精确测得Z坐标,测量机工作时,底座固定不动,由2旋转关节运动得到测头的X、Y坐标,再由平移关节运动得到Z坐标,从而精确定位了测头的三维坐标。

　　2　极坐标测量系统

　　2·1　空间坐标转换关系

　　测量机建模的基本任务就是利用坐标变换矩阵,确定测量机测头坐标系在基座坐标系中的位置,在本研究中,测量机的自由度为3,我们在每个关节臂上建立1个坐标系,则得到描述测头的齐次坐标系:

的位置矢量。针对测量机的建模主要是求得位置矢量p的值。

　　2·2　球坐标测量原理

　　测量原理是建立在机械结构的基础上的,根据相应的结构来选择相应的测量模型。显然,本课题研究的平行双关节坐标测量机和极坐标测量系统的测量原理相似,其测量原理如图3所示:点O为坐标系原点, P点被测点。已知了极径OP的长度为ρ,只需测出α和β角,则点P在坐标系中的三维坐标由下式得出: