用改进的两步模拟退火法进行二元光学元件的设计

　　0　引言

　　二元光学器件(Binary Optical Element,BOE)是基于光的衍射原理,利用计算机设计器件的微浮雕结构,并采用各种现代微细加工工艺制作而成,已广泛应用于光束的整形和变换、光束耦合、聚焦及分束等方面.通常的BOEs设计方法有两类:基于傅里叶变换的迭代法(Gerchberg-Saxton,GS)和基于搜索极值的优化法,如模拟退火法(SimulatedAnnealing,SA)[1].评价BOEs设计方法的优劣有两个指标:1)计算量小,收敛快;2)抗局部极值性能强,能保证求得问题的全局最优解.GS只接受使评价函数变好的自变量取值,所以当GS到达问题的某一局部极值点后将不能从中逃脱出去,妨碍继续求得问题的全局最优解.SA以一定的概率接受优化过程中出现的坏结果,从而使算法能从局部极值域跳出,有利于求得问题的全局最优解[2].传统的SA虽然在寻优能力上不容置疑,但它是以严密的退火计划为保证的,具体地讲,就是足够高的初始温度,缓慢的退火速度,大量的迭代次数及同一温度下足够的扰动次数[3].因此,SA的效率问题一直是算法真正走向实用的主要障碍.利用传统SA算法设计BOEs的另一个问题是:传统SA的优化结果是一组近似连续分布的位相数据,在BOEs的微细加工之前还必须按照预定的位相等级进行量化,从而会引入量化误差.

　　针对现有算法的缺陷,本文提出了用改进的两步模拟退火算法进行BOEs设计,并在整个优化过程中直接应用量化后的位相数据,减小模型的扰动范围,提高算法的运行效率,同时消除了量化误差的影响.

　　1　BOEs设计理论

　　以图1中的傅里叶变换光路为例来说明BOEs的设计理论.图中的BOEs设计模型中,单色平面波A(ξ,η)垂直入射到BOEs平面,经过BOEs的衍射和透镜L的傅里叶变换,在(x,y)得到所需的光场分布E(x,y)[4].所以BOEs设计的实质是:在已知入射光波A(ξ,η)和衍射光波E(x,y)的情况下,求解BOEs的透射系数函数:t(ξ,η)=exp [jφ(ξ,η)],使衍射光场E(x,y)满足

　　这是一个逆衍射问题.对于逆衍射问题的求解,由于在入射光波、衍射物体及衍射光波三要素之间存在着复杂的积分变换关系,很难得到一个t(ξ,η)的解析解,因此只有通过迭代运算得到一个t(ξ,η)的最优解.所以式(1)中的等号理解成“最接近”会更贴近问题本身.

　　2　改进的BOEs设计方法

　　BOEs设计方法的最高目标是寻求一种同时具备计算量小,且抗局部极值能力强的优化算法.GS算法和传统SA算法上述特点各占其一.本文通过对两种算法机理的深入研究,得到以下结论:1) GS算法只接受使目标函数值变好的自变量取值,在很短的时间内就能使目标函数值下降到一定的水平,但又正是因为GS的上述特点,使该算法到达某一极值后无法逃脱出去,不能全局寻优.因此,在一些设计精度要求不高的实时光学变换中,常用此法.2)传统的SA算法以一定概率接受使目标函数值变坏的自变量取值,使算法具备了全局寻优的能力,是进行BOEs设计的一种很有潜力的算法,但庞大的计算量成为了SA算法真正走向实用的障碍.基于以上分析可知,在保证算法能够全局寻优的前提下,通过对传统SA算法的改进,提高其运行效率,改进的SA算法能够成为BOEs设计的一种通用算法.通过对SA算法的深入探索,发现SA的收敛速度与BOEs设计的约束条件个数和模型的扰动范围密切相关,尽可能多的获取与设计相关的信息量,以便增加约束条件、减小模型的扰动范围,是提升算法运行效率的有效途径[5-6].