水平方向静电悬浮系统的数学模型与仿真

　　磁悬浮和电悬浮是当今工程领域的研究热点,文献[1]系统介绍了磁悬浮的基本原理与应用,并能检索到大量关于磁悬浮与磁力轴承理论与技术研究的文献资料.关于电悬浮,在国内外也有较多的研究.根据是否使用外电源,电悬浮分为有源电悬浮和无源电悬浮两类.无源电悬浮又称为静电悬浮,文献[2]探讨无源电悬浮原理并进行实验研究,文献[3]分析了悬浮转子式微机械陀螺仪的发展状况,文献[4]研究电悬浮在微型轴承中的应用.这些关于电悬浮的研究都侧重于原理分析与结构设计,而静电悬浮系统是一个高度非线性系统,还没有检索到关于静电悬浮系统非线性振动特性的文献资料.本文建立水平方向静电悬浮系统的非线性数学模型,并以数学模型为基础对其特性进行仿真研究.

　　1　非线性数学模型的建立

　　水平方向静电悬浮原理如图1所示,图1中,带电小圆盘1和带电小圆盘2分别固定在导轨(定子)的两端,带电小圆盘3 (转子)可在导轨上无摩擦地滑动(实际上通常用直线轴承作支承),三个小圆盘带同种电荷,且圆盘1和圆盘2的带电量相等.在正常情况下,圆盘3静止在平衡位置(轨道的中间),当受到外界扰动作用时,圆盘3将以平衡位置为中心振动.为探讨圆盘3的振动规律,将图1中的三个小圆盘都抽象为质点,三个圆盘的位置关系和正方向如图2所示,图2中,圆盘1、圆盘2和圆盘3的位置分别在-x0、x0和0处,x0表示圆盘3和圆盘1及圆盘2之间的间距,圆盘3受到圆盘1和圆盘2的排斥力与它们间的距离的平方成反比,可以列出圆盘3的运动方程为:

　　式中:t表示时间,k是受力比例系数,k的单位是Nm2;m是圆盘3的质量.方程(1)是一个非线性二阶微分方程,很难求出用初等函数表示的解析通解,其解通常用级数表示[5].为便于分析,规定两个初始条件是:t=0时,x=0,且dx/dt=v0>0.根据工程背景,方程(1)的解x=x(t)是一个周期振动函数,且有-x0

　　2　振动的幅值特性

　　用A表示振幅,当圆盘3从平衡位置运动到图1中的最右端时,由动能定理得

　　方程(2)中的被积函数可积,方程(2)可变为

　　由式(4)可以看出,振幅随着v0、x0和m的增大而增大,随着k的增大而减小.x0、m和k由结构设计决定,当x0=0.05 m,k/m=1 Nm2/kg时,振幅随初始速度变化曲线如图3所示.

　　3　振动的频率特性

　　对方程(1)用Matlab中的ODE45函数求解,结构参数仍采用x0=0.05 m,k/m=1 Nm2/kg,当v0=0.1, 0.5, 1.0 m/s时,仿真结果如图4所示;当v0=5.0, 10.0, 20.0 m/s时,仿真结果如图5所示.从图4可以看出,当初始速度较小时,周期都约是0.035 s,频率约为28.6 Hz,振幅都满足式(4);从图5可以看出,当初始速度较大时,周期不等,当v0= 5.0, 10.0, 20.0 m/s时,对应的周期分别约为0.028, 0.019, 0.011 s,频率分别约为35.7, 52.6, 90.9 Hz.随着初始速度变大,周期变小,频率变高,频率与初始条件有关,这是非线性系统的特点.图(5)中的振幅同样满足式(4).