带滞变支撑悬臂输流管的动力响应分析

　　近年来，输流管内的轴向流引发的流致振动问题得到了广泛的关注[1]。人们针对输流管的非线性振动做了不少卓有成效的工作，就细长悬臂输流管而言，这些工作主要包括: 逐步建立并完善了输流管的非线性运动微分方程[2，3]，研究了定常流与振荡流作用下输流管的稳定性分析[4 -12]。

　　滞变支撑( Energy absorber) 的恢复力是变形与速度的函数，在加卸载过程中不是沿着同一个路径变化，而是形成如图 1 所示的滞变曲线，这种特性能使滞变支撑在地震等紧急工况下大量耗能以保障结构安全。因此，这种支撑已被用于核工业，土木工程、建筑工程等领域。然而迄今为止，却鲜有带滞变支撑输流管流致振动的研究报道。

　　本文基于能量法，将滞变支撑所做的虚功引入到管道的能量方程中，结合悬臂管道的不可伸长假设，导出了带滞变支撑的悬臂输流管的非线性运动方程。随后，采用Matlab 程序编制了数值计算程序，考察了该系统的动力学响应。

　　1 带滞变支撑悬臂输流管道的理论模型

　　悬臂管长为 L，横截面积为 A，单位长度管道的质量为 m，抗弯刚度为 EI，流体的轴向流速为 U，单位长度流体的质量为 M，x 表示管道横截面位置，y 表示管道轴线偏离平衡位置的位移，并引入沿管道轴线的曲线坐标 s。假设在初始条件下管道沿 x 轴竖直放置，如图2 所示。

　　悬臂输流管的基本假设为: ① 流体不可压缩，管内流速保持不变; ② 管径与管长之比很小，管道为欧拉梁; ③ 不计管道的转动惯量和剪切变形; ④ 管道运动为平面运动且中心轴线不可伸长; ⑤ 管道可以是大变形但应变很小。

　　基于Hamilton 原理，带滞变支撑的悬臂输流管系统的能量方程为:

式中L = VP+ VF- TP- TF，VP和 VF是管道与流体的势能，TP和 TF是管道和流体的动能。第二个括号表示非保守外力虚功，其中，δWF为流体力对系统做功，δWH为滞变支撑对系统做功。

　　2 滞变支撑对系统做功

　　若沿输流管轴线共布置了个 P 个滞变支撑，其中，第 i 个支撑距管道固定端的距离为Li，假设输流管与滞变支撑连接点轴向变形很小，滞变恢复力的轴向分量可忽略不计。借助 BOUC-WEN 光滑滞变模型[13]，当管道受到外部激励发生振动时，作用其上横向滞变力可表示为:

　　对第i 个支撑而言，ki代表其初始刚度，αi为支撑屈服后刚度与屈服前刚度之比，yi为支撑点的横向变形，Zi称为滞变位移，A，Δ，Θ 和 n 是控制滞变位移初始刚度、幅值和滞变形状的滞变特性参数。只需调整这些参数，BOUC - WEN 模型便可用来表达各种软化、硬化滞变曲线，因此该模型又被称为“万能模型”。本文仅考虑含1 个滞变支撑的情形，即P =1，同时取滞变特性参数 n = 1。由虚位移原理可知，在 t1～ t2时间段内，滞变力 Fh在虚位移 δy 上所做的虚功为: