裂纹超声散射的有限元模拟

   裂纹是固体中一类常见的缺陷。与其它无损检测方法相比用超声方法检测裂纹具有一定的优越性,因而备受关注。许多学者对固体中超声波与裂纹的相互作用进行了大量研究,但主要是从试验角度出发,并不能从根本上认识超声波的传播和散射机理^[1]。这样,超声检测过程的数值模拟越来越显得重要,它可以弄清对最基本的超声回波产生机理以及超声波成像的理解^[2],且数值模拟在模型“制作”、参数选取和变动方面,较之实物模型试验皆具有很大的灵活性和优越性^[3]。Bond于1990年^[4]比较了现有的各种数值方法,得出了因有限元可以方便灵活地模拟不同类型基材中任意形状的缺陷而优于其它方法的结论。

    K M A Jaleel于1993年运用有限元方法[5]计算了各向同性固体中的表面裂纹和内部平行于表面的裂纹。N N Kishore于2000年[6]计算了各向同性固体中表面裂纹和背表面裂纹的超声散射。对固体中不同长度裂纹对检测回波的影响,以及对与表面成一定角度的内部斜裂纹和弧形裂纹等问题的研究,目前尚未见到相关报道。笔者在前人工作的基础上,使用Matlab语言编写了有限元计算程序,模拟计算了与表面平行的不同长度内部直裂纹、斜裂纹和弧形裂纹的超声散射情况,获得较好的效果。

1　有限元算法

1.1　有限元方程与求解格式

    在不考虑体力影响时,各向同性弹性固体中声波的Navier控制方程的矢量形式为^[7]

    首先将计算区域划分为若干单元和结点,然后选取适当的单元结点位移插值函数,用结点位移和位移插值函数表示出区域任一点的位移,利用伽辽金(Galerkin)法由方程(1)导出整体有限元运动方程为^[8]

    求解式(2)的数值积分选用绝对稳定的Newmark隐式格式。积分稳定的同时,波动模拟的精度主要依赖于每一有意义的波长上包含的结点数,不应少于8个。这样,首先由计算区域的波速确定最小空间步距Δx,然后根据选定的Δx确定时间步距Δt^[9],应满足

式中cmax为区域内最大波速。

    计算中固体介质选取铝,其杨氏模量E=69.55 GPa,泊松比μ=0.34,密度ρ=2 700 kg/m³。激励源选用频率为4 MHz的一个周期的正弦脉冲,其函数表达式为

    相应的纵波、横波及瑞利波的波速分别为cp=6 300 m/s,cs=3 100 m/s,cr=2 900 m/s,而波长分别为λp= 1. 575 mm,λs= 0. 775 mm,λr=0.725 mm。

    由λr确定选取Δx=0.1 mm,然后由cp和Δx确定取Δt=0.015μs。