边值传热反问题误差评估的正则化仿真模型

    引 言

    传热反问题（Inverse Heat Conduction Problem，简称IHCP）产生于许多实际测量比较困难的传热情况，例如，重返大气层的飞行器、燃烧腔、淬火材料的冷却等等。它们的共同点是测温点只能在固体的内部或固体的一个表面上，而要估算固体另一表面的温度或热流。对于 IHCP，无论是解析解还是数值解都要比正问题困难的多。在正问题中，边界测温点上产生的测量误差在计算固体内部或另一表面温度时会被衰减，这是由于传热过程的扩散特性决定的。而反问题则是通过内点测量来计算边界上的温度，内点测量误差会被外推和积累放大，这也是反问题被称为“误差放大器”的原因，Hadamard 认为 IHCP 在数学上是不适定的^[1]。因此，反问题的数值计算必需重新定义问题的近似解，构造稳定的算法，才能得到稳定的数值结果。

    自从 Stolz^[2]于 1960 年发表了第一篇关于传热反问题论文以来，许多科学工作者对传热反问题的数值解法进行了研究，提出了各种求解方法，如 Tikhonov[3]的正则化法、Beck的序列化法[4]、时间推进算法[5]、空间推进算法[6]等，除了正则化法，这些方法一般都是针对特定问题的数值解法，不能解决普遍问题。由于工程应用的需要，近几年出现了有普遍意义的 IHCP 算法，主要有改进了的正则化法、共轭梯度法[7,8]、Fourier 正则化法[9]等。共轭梯度法和 Fourier 正则化法在算法理论上有一定的难度，前者涉及泛函求变分的问题，后者涉及 Fourier 变换问题。因此，寻找一种简单实用的算法在工程上是有实际意义的。

    工业上淬火介质的冷却能力的测量一般采用一圆柱形测试探头浸入淬火介质中冷却，记录探头中心的温度变化，作为评定淬火介质的冷却特性。而实际上应该测量的是探头表面的温度变化作为评定的标准，但探头表面的温度是很难直接测量的。因此必须通过探头中心的温度来推算探头表面的温度变化，这是一个典型的边值传热反问题。本文在边值传热反问题数值求解过程中，采用 Tikhonov 的正则化思想，根据离散差异原理(The Discrepancy Principle)，通过引入正则参数，构造出一个扰动的边界条件，从而建立一个正则化的数值仿真模型，以达到稳定数值解的目的。并且根据特殊情况下的解析解，对该边值传热反问题数值解的计算误差进行了评估。

    1 正则化理论仿真模型

    工程上常用的淬火测试探头是国际热处理学会推荐的Wolfson 标准探头，它是一个直径 12.5mm、长 60mm 的圆柱形探头，其中心装有测温热电偶，用于记录探头在淬火油中的冷却过程中温度及冷却速度的变化，如图 1 所示。