结构极限分析的Galerkin边界元方法

    作为弹塑性问题求解的简化方法，极限分析比传统的弹塑性增量计算方法效率更高，更实用。进行极限分析一般不需要事先知道载荷变化的历史,应用更简便。理论上这种方法可以避免费时的弹塑性增量计算,适用于对工程结构的极限承载能力进行求解,但在实际的数值计算时却遇到了很大的困难。由于结构极限分析的数学规划格式含有多个变量和约束,且一般来说为非线性,求解的规模往往很大。在将非线性屈服条件线性化的过程中,为保证一定的精度,需要引入一定数量的约束和变量。而约束和变量的数目越多,数学规划的规模将呈指数上升趋势,变成一大规模的数学规划问题,这就是所谓的维数障碍。目前很多研究都围绕着发展极限分析方法而展开,其中大量的工作就是为了克服维数障碍问题[1]。

    应用边界元方法进行极限和安定分析,早在1983年就由G.Maier[2]等提出了采用常规边界元进行极限和安定分析的方案,文[3]给出应用Galerkin边界元进行极限和安定分析的方案,指出了应用这种方法的可行性。但由于没有克服数值计算上的困难,上述方案并未给出具体的计算方法和有关的计算结果。Galerkin边界元方法,由于采用解析积分方案和对称的系数矩阵,使该方法有很好的计算精度和效率。特别是由内点应力积分公式直接得到的应力比有限元方法由位移计算的应力有较高的精度,便于构造虚拟弹性应力场和自平衡应力场,采用Galerkin边界元方法进行极限下限分析是很有利的。计算结果表明了该方法的计算精度和效率。

    1　极限分析的下限定理(Melan定理)

    极限分析的下限定理[4]可以叙述为:“一个满足平衡条件并且到处都不破坏材料屈服条件的应力场,是一个静力容许应力场;跟静力容许应力场对应的外载荷是极限载荷的下限;最高的下限最接近极限载荷。”其数学表达格式为:

其中:目标函数β为待求极限载荷乘子,σ^Eij(x)为给定基准载荷作用下的虚拟弹性应力场,ρ_ij(x)为可调的自平衡应力场,φ[·]为屈服函数。约束条件式(1b)为屈服条件,式(1c)与式(1d)为自平衡应力场在域Ω内和力边界ΓP上所必须满足的齐次条件。

    2　弹塑性Galerkin边界元方法

    Galerkin边界元方法在近年来得到了很大的发展[5～7],由于采用解析积分方案和对称的系数矩阵使该方法有很好的计算精度和计算效率。特别是由内点应力积分公式直接得到的应力比有限元方法由位移计算的应力有较高的精度,所以本文采用Galerkin对称型边界元方法对结构进行数值离散。