弹性饱和多孔介质在非轴对称荷载下的稳态动力响应

    1　前　　言

    饱和多孔介质动力响应问题是涉及环境工程、水利工程、抗震工程和土木工程等领域的重要课题。自从Biot[1,2]建立饱和多孔介质本构关系和运动方程以来,人们已经作了大量研究工作[3,4,5]。Paul[6]用Hankel变换和Helmhotz分解讨论了饱和多孔介质Lamb问题;Chen[7]通过与热弹性理论比较推导出了饱和多孔介质半空间的Green函数;杨俊等[8]用积分变换方法分析了轴称条件下弹性层和饱和半空间体系稳态动力响应。所有这些研究都是针对轴对称问题的,饱和多孔介质非轴对称动力响应问题的研究有待开展[9]。张玉红[10]对半空间饱和多孔介质非轴对称动力响应进行了初步讨论。在前文[11]中作者用传递矩阵法研究了半空间弹性饱和多孔介质的非轴对称动力响应问题。本文应用Fourier展开和Hankel变换,在柱坐标系下获得径向无界空间中Biot波动方程在非轴对称情况下的一般解;应用一般解对半空间弹性饱和多孔介质在表面非轴对称简谐荷载作用时的稳态动力响应作了分析。

    2　Biot方程及其Hankel变换解

    若不考虑饱和多孔介质骨架材料和孔隙流体的压缩性,并且忽略孔隙流体相对于骨架运动的惯性项[12],在柱坐标系下,用介质骨架位移u和孔隙流体压力pf表示的弹性饱和多孔介质动力方程是[10]

其中,ur、uθ和uz分别是u的径向、周向和轴向分量; G和λ是介质骨架的Lame常数;ρ是饱和多孔介质密度;e是介质骨架体应变。饱和多孔介质孔隙流体运动方程是

式中,ρf是孔隙流体密度;k′d=kd/ρfg,kd是孔隙流体动力渗透系数;w是孔隙流体相对于介质骨架的位移。利用饱和渗流方程 ·.u+ ·.w= 0 ,从方程(1)和(2)可得

    由于e= ·u,方程组(1)和(3)中只有四个方程独立。它们就是用u和pf表示的弹性饱和多孔介质动力方程组,即Biot方程。与以下讨论有关的介质总应力分量与u和pf的关系是

    考虑简谐荷载激励下的稳态动力响应。把u、pf和e等函数都写成下面的形式

    f(r,θ,z,t) =-f(r,θ,z)e^iωt    (5)

并且对函数-f(r,θ,z)关于θ作Fourier展,取形式

则方程组(1)和(3)转化为

    当n=0时,问题具有轴对称性,已经解决[8]。本文只讨论非轴对称情况(n≥1)。令

对n、Ψn、uzn、pfn和en分别进行(n+1)、(n-1)、n、n和n阶Hankel变换,从方程组(7)和(10)得到

其中,A_gn和B_gn(g=e,p,z,Ψ)是与z无关的常数,十个常数中只有八个独立。把展开式(6)代入方程e= ·u,就推导出e_n与u_{r n}、u_θn及uzn的关系式,该关系式的n阶Hankel变换是