双剪统一弹塑性有限差分法在金属结构中的应用

　　0 前言

　　Tresca 和 Mises 屈服准则在金属材料强度的研究领域应用最为广泛。Tresca 屈服准则属于单一切应力强度理论不能考虑中间主应力影响;Mises 屈服准则基于正八面体切应力理论可以考虑中间主应力对材料屈服的影响且形式简单，故得到广泛应用。俞茂宏[^1-3]从双切应力力学模型出发提出了双剪统一强度理论，能够考虑中间主应力对材料破坏的影响反映材料在复杂应力状态下的力学行为，文献^[4]对双剪统一强度理论给予了评论。徐栓强等^[5]基于双剪统一强度理论给出了厚壁圆筒结构的弹塑性极限内压力问题解析解。李宏伟等^[6]利用有限元分析软件 ABAQUS/Explicit 的 VUMAT 平台开发了基于 Mises 屈服准则的弹塑性混合硬化模型并进行了计算分析及验证。赵永武等[7]研究了基于 Mises 屈服准则的球体—刚性平面的弹塑性接触问题。杨广雪等^[8]利用 ABAQUS 软件及 Coulomb 摩擦模型分析了金属试件过盈配合的疲劳问题。可以看出弹塑性理论及其数值计算方法在机械工程研究领域得到了广泛应用，因此，将双剪统一强度理论应用于金属结构及机械工程数值分析具有重要的意义。本文使用拉格朗日显式有限差分计算软件 FLAC(FastLagrangian analysis of continua)作为二次开发平台，使用 C++语言编写动态连接库文件将双剪统一弹塑性模型载入 FLAC 中进行计算分析。

　　1 理论基础

　　1.1 双剪统一强度理论

　　双剪统一强度理论主应力形式的表达式为^[1-3]

式中，σ^0.2 为拉伸屈服强度，b 为反映中间主切应力及其相应面上正应力对材料破坏影响程度的系数。三个主应力为 σ₁≥σ₂≥σ₃，且受拉为正受压为负，f 或 f ′≤0 时材料发生屈服。双剪统一强度理论屈服面在π 平面上的投影如图 1 所示，其中当 b=0 时则退化为Tresca 屈服准则，b=( –1)/2≈0.366 及b=0.500 时为 Mises 准则的线性逼近。图 2 为角点奇异性处理示意图，可看出屈服面存在角点如 A、B和 C 点，流动法则中塑性流动矢量∂f /∂σ_ij在角点处方向不唯一。本研究的处理方法如下所述：B 点即σ₂=(σ₁+σ₃)/2 时的流动矢量取左右两个屈服面流动矢量的平均值，A 点和 C 点的流动矢量取 b=1 时的形式^[2-3],具体见图 2。

　　1.2 有限差分离散格式

　　FLAC 是美国 Itasca 公司于 1992 年使用 C++语言开发的快速拉格朗日分析程序，使用显式有限差分方法进行计算。FLAC 采用时间增量的差分方法，不需要求解整体刚度矩阵，通过时间增量将计算显式地推到下一个计算时步;对于材料非线性问题无须进行迭代计算，从而降低了计算成本提高了计算效率。由于其良好的非线性计算性能，FLAC 被广泛应用于岩石、土及混凝土等非金属材料的数值分析，但是 FLAC 很少被用于金属材料的数值分析。