色品图离散数据的曲线拟合

　　0 引言

　　随着科学技术的进步，光谱的检测、分析技术正在各专业领域得到广泛的应用。 小型化、速度更快、可以在线测量的专用型光谱仪器是研的方向之一[1]，例如 ，采用颜色传感器， 可以在线测量并获得某个入射光的 R、G、B 三色值[2]。为进行光谱分析， 必须将测量值 R、G、B 转换为入射光的波长。 显然，采样 RGB 的三色值经过公式计算，可以转换为入射光的三刺激值 X、Y、Z，再利用色品坐标的计算公式，通过对入射光中心波长进行识别，可以得到入射光的光谱信息。

　　CIE 1931 色品坐标是波长间隔为 1nm 的离散数据[2]。 一般情况下， 转换得到的三刺激值 X、Y、Z 常常介于波长间隔为 1nm 的离散数据之间，因此，有必要对这些离散的数据进行研究，并建立连续函数的数学模型，实现通过模型计算给出对应的入射光波长的目标。为此，本文对 CIE 1931 色品图离散数据的曲线拟合进行了研究。

　　1 CIE x-y 色品图光谱轨迹的分段建模

　　波长范围在 380~830nm 之间各个波长单色光的色品坐标是离散的数据点，限于篇幅，表 1 给出了 6 组波长为 380~385nm 的色品图表中坐标 。 其中 X(λ)为红原色的比例 ，y(λ) 为绿原色的比例 ， 蓝原色的比例 z (λ) =1- x (λ) - y(λ)[3-4]。

　　根据波长范围在 380~830nm 之间、 分辨率为 1nm 的波长三刺激值 X、Y、Z 值，利用 MATLAB 软件画图功能，可以画出 xyz 三维图线，如图 1。 观察、分析该图线的特点表明，简单的曲线拟合不能满足拟合精度。 更进一步分析数据拟合方法的特点，通过对上述图线研究得到，采用分段拟合方法可以满足要求。

　　经过对上述图线进行不同分段的拟合研究表明， 将该曲线分为波长为 380~500nm、500~540nm、540~700nm、700~830nm 四段可以获得误差较小的数学模型。 其中，靠近波长末端 700~830nm 的光谱波段具有一个恒定的色品值， 可以由一个点来表示。

　　2 曲线拟合的线性最小二乘法

　　可以用很多方法来定义不同准则的最佳拟合。 例如，通过求最大误差、平均误差、均方根误差、误差平方和之一的最小值等。 其中，使其误差平方和最小且所用的曲线限定为多项式的方法称为最小二乘准则。 最小二乘法是一种比较严格的曲线拟合方法，其判据是：对等精度测量若存在一条最佳拟合曲线， 则各测量值与这条曲线上对应点之差的平方和应取极小值[5-6]。

　　由于色品坐标给出的离散点是波长间隔为 1nm 等精度的数据，选择合适的多项式，运用数据拟合中多项式拟合线性最小二乘法，生成一个连续的分段函数，即能建立离散数据光谱轨迹的数据拟合连续模型。 因此，本文采用多项式最小二乘法实现。