摆锤优化设计的数学模型

　　1　冲击试验的工作原理

　　冲击强度是指试样一次破断时的冲击消耗功与所测试样横截面积之比值。图1所示为试验机的工作原理示意图。当摆锤以落角α释放时,在没有安装试样的情况下,如果忽略摩擦损失,摆锤在另一侧的升角β应该是和α相同(α=β)。在工作过程中,试样的破坏必然损耗能量,从而使摆锤的升角β小于落角α,这两个角度的差值α-β反映了冲击过程中试样所吸收的能量以及因机械摩擦、风阻等而消耗的能量之和,在对摩擦、风阻损失进行校正后,即可计算出破坏试样所吸收的冲击能量。

　　2　摆锤的打击中心[2]

　　如图2所示,当摆锤打击试件时,设打击前摆锤的角速度为ω0,在点O′受到试件给摆锤的反作用力,设其大小为F,至摆轴轴线的距离为l1,在碰撞过程中角速度发生急剧改变,由ω0降低到ω,假定材料为刚体,应用质点系碰撞时的微分方程,有:

　　式中:I0为摆锤到摆轴轴线的转动惯量。

　　又根据质点系动量定理积分形式,有:

　　式中:m为摆锤的质量;F′为摆轴在点O的约束力。

　　当摆轴轴线在点O不产生附加的水平约束力,即F′=0时,则式(2)可写成:

　　比较式(1)与式(3),得:

　　即当打击点距摆轴轴线的距离为l1时,打击力在摆轴轴线点O不产生附加的水平约束力,此时点O′的位置即为摆锤的打击中心。因此,在设计和制造过程中,尽量使打击点靠近打击中心,从而减小打击时在转轴处产生较大的附加压力。由式(4)可知,打击中心到点O的距离l1与重心到点O的距离lc并不重合。

　　3　摆锤的优化设计

　　摆锤的打击中心与摆锤的结构有关,因此,设计正确的摆锤几何尺寸是冲击试验机的关键。由于摆锤的尺寸改变后,其重心和冲击中心位置均随之改变,而且冲击能量和冲击速度亦随之变化,故应用优化设计方法确定其几何尺寸,可以减少摆锤试制的次数,是较理想的设计方法。

　　3.1　目标函数

　　当打击点在打击中心时,摆轴轴线处不会产生附加的作用力,因此,不会在此处产生附加的能量损失。而且在摆锤式冲击试验机的检验[1]中规定,打击中心至摆轴轴线的距离l1应为0.995l±0.005l,且应准确到0.5mm。所以,目标函数可表示为:

　　式中: l1为摆轴轴线至摆锤打击中心的距离,由式(4)计算确定; l为摆轴轴线至打击点的距离,是试验机的设计尺寸,由结构确定。

　　3.2　设计变量

　　锤体的结构一般有C型和U型,根据所选择的摆锤结构形式确定不同的几何尺寸作为设计变量,设计变量可用向量的形式表示为: