压弯聚焦镜自重的平衡

    北京同步辐射装置中能 X 射线光束(BSRF-3B3)线中需要水平和垂直方向的聚焦，以便在样品处得到高通量聚焦光斑。采用压弯柱面镜装置实现两个方向聚焦的双重功能，接受较宽的水平光束，得到高通量、高分辨的聚焦 X 光束，已在国外的同步辐射装置光束线上得到广泛的应用。该压弯聚焦镜由于镜体较长，其自重给镜体带来较大的面形误差。对镜体自重进行平衡，可以减小这种面形误差。本文通过优化计算，找到最佳平衡力的大小和作用点，可使自重引起的误差减到最小。

    1 压弯聚焦镜

    对于聚焦镜来说，光源点和成像点各位于椭球的两个焦点上，若要获得与光源完全匹配的像斑，则聚焦镜表面形状必须与所在位置的椭球面一样。由于加工困难，在光束线中，常以超环面代替椭球面作为聚焦镜镜面。柱面镜压弯装置就是将柱面镜压弯成超环面镜，代替了理论的椭球面镜。柱面镜的形状如图 1 所示：在长方体的晶体中挖出一个柱面反射面。柱面镜上的柱面可实现弧矢方向的聚焦，而子午方向的聚焦是将镜体压弯来实现的。可以由光学参数确定柱面和压弯的曲率半径。

    2 自重引起的面形误差及平衡

    2.1 自重引起的面形误差

    如图 2 所示，由于柱面镜的自重，会使柱面镜产生面形误差。根据梁的变形理论，它产生的面形误差为：

其中，E 为柱面镜的杨氏模量，I 为惯性距，q 为镜体单位长度的自重，l 为镜长。若采用熔融石英作镜的材料，其杨氏模量 E=7.25×10¹⁰N/m²，镜子截面的惯性矩 I =1.67×10^–7m⁴，镜长 l = 800 mm，镜体 q = 107.8 N/m。计算可得其面形误差分布，如图3 所示。

    2.2 自重的平衡

    2.2.1 自重平衡的方法 在镜体下面对称的位置加上一对平衡力，可以减小镜体的面形误差，见图 4。图 4 中 P 为压弯力偶，P′为平衡力，两个平衡力的间距为 b。加平衡力后，柱面镜的面形误差如（2）式所示。

    2.2.2 平衡力的大小和作用点 设计时要选择合适的平衡力间距 b 及大小 P′，使面形误差尽可能地小。令α = P′/ql，β =b/l，则（2）式可写为（3）式。为找到最佳的 b 和 P′，需考虑 x ∈ [0, l]整个区间上的均方根误差，如（4）式。

式中α 和 β 为比例系数。根据(4)式可以算出在不同的α 和β 时，镜体面形误差的均方根误差，如表 1 所示。从表 1 中可看出：(1)α 值一定时，误差值随β 值变化，有一最小值；(2)β 值一定时，误差值随α 值变化，也有一最小值；(3)α = 0.3 到α = 0.5 之间的误差相对较小；(4)总的最小值在α = 0.4、β = 0.4 附近。