基于三线摆运动完整描述的转动惯量测量方法

　　1　引言

　　目前,国内外采用多种方法来实现对枪炮的弹丸、电机转子、机器零件和弹箭等转动惯量的测量,有线摆法、复摆法、扭振法等几种方法,如文献[1]采用了一般三线摆法,文献[2]采用了复摆法,文献[3]采用了扭振法。然而,对于应用最为广泛的线摆法,工程实际中普遍建立于小摆角假设上,仅有文献[4]讨论了大摆角情形,并完成了大摆角下的近似解析解。为了避免近似解析解带来的误差,回避如同文献[5]的近似误差分析,利用拉格朗日方程,建立了可完整描述三线摆运动的微分方程,并通过数值分析方法来求解方程。

　　2　对称式三线摆的结构原理[6]

　　如图1所示,将三条长度均为h的摆线(如用钢丝)的一端分别悬挂在与地面平行的上圆盘三个悬挂点上,三悬挂点距离圆盘几何中心均为R,三个悬点的连线夹角均为120°,钢丝的另一端固定在质量为m1的另一圆盘上,这三个点距下圆盘质心距离也为R、连线也相互成120°。其中摆线质量忽略不计,由于三条摆线等长、三悬距和三悬角分别相等,故称作对称式三线摆。

　　3　不考虑摆线拉伸下三线摆的运动方程

　　影响摆盘运动的因素是多种多样的,在忽略空气阻尼的情况下,三线摆属于保守系统。通过分析可知,三线摆的运动是一种复合运动,可分解为定轴转动和平动,故依据总机械能守恒定律可建立摆盘的运动方程。下面分别对动能与势能进行分析。

　　如图2所示,摆盘偏转φ角时,摆盘质心沿Oz轴上升h1,以摆盘自然悬挂时的质心为原点建立坐标系,则有A、A1、A2三点的坐标如下:

　　A(R,0,h),A1(R,0,0),A2(Rcosφ(t),Rsinφ(t),h1(t))

　　其中,转角与上升高度h1是时间t的函数。由于摆长不变,可根据坐标距离公式得到关于上升高度h1的方程:

　　进而可得三线摆的势能:

　　由于三线摆的运动可分解为平动和定轴转动,则有三线摆的动能:

　　其中,I为摆盘及盘上物体绕Oz轴总的转动惯量;M为摆盘及盘上物体的总质量;I1为摆盘绕Oz轴的转动惯量;I2为盘上物体绕Oz轴的转动惯量;m1为摆盘的质量;m2为盘上物体的质量;vc为摆盘质心的运动速度。

　　摆盘质心的运动是沿Oz轴的平动,故有:

　　这样可进一步得到三线摆的动能:

　　由式(2)可得出,上升高度h1是随转角φ的改变而改变的,即三线摆是具有一个自由度的保守系统,在此选取转角φ为此系统的广义坐标,考虑到作用在摆盘上的主动力只有重力(摆线的重力已忽略不计),故可将式(3)和式(6)代入拉格朗日方程[7]: