圆形低频电流场逆问题的仿真和实测计算

　　0　引　　言

　　电阻抗CT(Electrical Impedance Computed Tomography)是一种新兴的医学成像技术,它通过测量人体表面的转移阻抗来重建人体的电阻抗分布断层图。电阻抗CT的优点在于:1)由于不涉及电离辐射、强磁场或放射线,电阻抗CT对病人和医护人员是无害的;2)电阻抗CT不仅可以显示人体内部的几何形状,而且可以提供反映人体健康状况的生物化学信息; 3)电阻抗CT的成本低廉 。除用于医学诊断外,电阻抗CT还可用于无损检测等领域。

　　电阻抗CT在理论上是一个低频电流场计算的逆问题。其计算中,最大的问题在于边界电位值的变化对场域内部电导率的变化不敏感,也就是说,电阻抗CT的数学模型是一个“病态”的模型。到目前为止,对此问题还没有一个公认的有效的解决办法。

　　本文是国家自然科学基金资助项目“人体电阻抗CT雏形的研究”的部分成果。在本课题的前期研究工作中,仿真计算和模拟实验都是在方形场域上进行的,而人体的横截面是圆形的或近似圆形的,同时,考虑到人体试验的复杂性,先进行圆形场域模拟实验,取得一定经验后再进行人体试验是稳妥的。

　　1　数学模型及算法

　　在求解低频电流场逆问题之前首先要求解正问题。电流场的正问题是指在已知场域电导率分布和注入电流的情况下求解场域内的电位分布,而电流场的逆问题则是指在已知注入电流和场域边界电位分布的情况下求解场域内的电导率分布。

　　电阻抗CT中引入电流形成的电流场是一个三维电流场,但为简化问题起见,目前只对二维问题进行研究。由于采用频率在10～100 kHz的正弦电流作为注入电流,形成的电流场满足似稳条件,而且此时流过人体的位移电流远小于传导电流,在目前的工作中可以暂不考虑位移电流的影响,因此,可以按照导电媒质内的恒定电流场来处理这里的低频电流场。

　　用上述方程并考虑到狄里赫利边界条件和诺曼边界条件可以求解低频电流场的正问题。由于场域形状复杂和场域内部电导率分布不均匀,用有限元法求解正问题比用边界元法和有限差分法等较为合适。

　　电阻抗CT的目的是在已知场域边界注入电流和测量所得边界电位的条件下求出上式中的σ.显然,仅进行一次测量是不够的,只有通过改变电流的注入位置,反复测量边界电位的方法来获得足够多的信息以完成电导率分布的重建计算。

　　在目前电阻抗CT技术所使用的各种重建算法中,迭代等位线算法是使用得最多的一种算法[1,2]。本文所用的重建算法是一种基于场域分割法[3]的改进的迭代等位线算法,与迭代等位线算法相比,它的加权系数更加准确地反映了转移阻抗与两等位线之间区域内的电导率的关系,因此精度要高一些[3]。改进的迭代等位线算法的迭代计算公式如下: