均布载荷下Arc型与S型悬臂梁的临界长度

　　悬臂梁的变形问题在土木、建筑、机械等工程领域广泛存在,而在一些新兴领域———生物、微机电系统(micro-electro-mechanical system,MEMS)中也大量存在微梁的粘附问题.例如,在飞速发展的微机电技术中,液体经常会陷入具有高表面能的微加工构件中,从而产生较强的毛细力[1],液膜或者液桥产生的毛细力经常会使这些典型间距为500—2000 nm的结构产生黏附.MEMS微器件也会受到范德华力、Casimir力以及静电力的吸引而产生粘附使微器件功能损坏.这些都大大限制了微电子行业的迅速发展[2].微小器件的粘附现象是当今科学研究的前沿,液桥力或者其它非经典力引起的微梁变形已经成为研究的热点.文[3]通过能量方法研究了两根或者两束毛发被液膜所黏附的临界长度,同时指出多根微梁进行粘附时往往产生多级结构,文[4]通过考虑两根微梁之间的液桥实际形貌而求解了两根梁黏附时的挠度,文[5—6]采用Rayleigh方法求得了微梁粘附时的近似挠度曲线以及近似的临界粘附长度,文[7]通过连续介质力学有限变形理论以及变分原理求解了微梁毛细粘附时的临界长度以及挠度曲线,林孟儒研究了中心固定的板在毛细力粘附下的临界长度,文[8]求得了具有一定粗糙度的基底与梁粘附时的特征参量,文[9]等研究了在集中载荷下梁的形貌由Arc型跃迁到S型的过程,文[10—11]采用梁的小变形模型研究了生物的刚毛或者微纳米加工过程中微柱的临界粘附现象并给出了几种变形的临界尺寸.

　　尽管许多学者对于梁的粘附变形做了大量的研究工作,但是对于工程中或者生物、微电子行业中广泛存在的均布载荷下梁的形貌转变过程尚未见报道.本文基于小变形连续介质力学,运用能量变分的方法求解了梁的形貌的整个演化过程,给出了随着无量纲参数的各种梁的挠曲线.

　　1　悬臂梁

　　如图1,Euler-Bernoulli型悬臂梁在均布载荷q作用下产生变形.梁的长度为l,其固定端离地面的距离为H.当梁变形较小时,其右端挠度小于H.建立如图1的坐标系oxy,则梁的挠度微分方程为

　　其中为w为梁的挠度,E为梁的弹性模量,I为梁的截面惯性矩.梁的固有边界条件为

　　由式(1)以及固有边界条件可以求得悬臂梁的挠度为,则梁的最大挠度为.要保证梁悬空,必有梁的右端不接触基底,即.引入无量纲量,则当λ<8时,悬臂梁不与基底接触而保持悬空;当λ≥8时,梁将与基底接触,形成为弧状的Arc型梁.

　　2　Arc型梁

　　如图2,Arc型梁右端与基底接触.建立如图2的坐标系oxy.此时梁的固有边界条件为w(0) =w′(0) =0,w(l) =H,w″(l) =0.此时根据式(1)以及对应的固有边界条件,可以求得梁的挠曲线