处理斜边界问题的平行四边形平面应力单元

　　0引言

　　在用有限元法分析平面问题时，采用的最简单的单元为三节点三角形常应变元，这种单元选取的形函数是线性的，它的刚度矩阵及荷载列阵均为显式积分，所求得的相邻单元的应力和应变值有突变，精度较差.选取位移模式为双线性的矩形单元[l，2〕，可以较好地反映弹性体中的位移和应力状态，但不能解决具有斜边界的平面问题，处理这类问题可采用平行四边形单元，它的形函数仍为双线性变化，通过等参变换所得到的刚度矩阵及等效节点力均为显式积分，无需进行数值积分.

　　1刚度矩阵

　　对于平行四边形一单元(图1)，

　　形函数取为下式

　　其中

　　位移模式取为

　　其中y₀为局部坐标原点位置. 将几何方程

　　写成矩阵形式

　　其中几何子矩阵

　　通过等参变换，得

　　其中Jacobian矩阵

　　其逆矩阵为

　　将(1一9),（1一7)式代人(1一6)式，得到几何子矩阵

　　式(1-11)中的[D〕为弹性矩阵，通过代换「D」中的E和f}即可求解平面应变问题.将虚功方程

　　写成矩阵形式，得到单元刚度子矩阵的表达式

　　式(1一13)中，t为膜元厚度，

　　当取(1-14)式中的a= 90⁰时，（1-13)式即为矩形单元的刚度矩阵.

　　当平行四边形单元的水平边与妥轴的夹角为B时，只需进行坐标转换，便可得到整体坐标系15中的刚度子矩阵

　　（1-15)式中的[T〕为坐标转换矩阵

　　它适用于将整体坐标系下的物理量转化为局部坐标系下的物理量，若要将局部坐标系下的物理量转化为整体坐标系下的物理量，只需令B=-B，此时的刚度子矩阵为

　　2等效节点力

　　由虚功方程，可求得单元上作用的集中力、体力及面力的等效节点力分别为集中力计算

　　(2-1)式中的(N_i)二是形函数在荷载作用点上的值，如图2所示

　　体积力计算

　　对于常体力情况

　　由(2一3).（2一4)式可知:i,j,m.p四个节点均分体积力面力计算

　　3结论

　　使用平行四边形单元可较好地处理一些具有斜直线边界的平面问题，这种单元的刚度矩阵及等效节点力均为显式积分，易于计算.

　　由计算知，平行四边形单元上作用的集中力、体积力和面积力转化为等效节点力的过程符合静力等效原则.