相位差法用于拼接镜piston相位检测的实验研究

　　1　引　言

　　传统的波前检测方法如剪切干涉仪法、哈特曼波前探测法以及波前曲率传感器法[1]虽然都日渐成熟,但都有共同的缺点———结构复杂,并且自身难以对准。相比之下,相位差法的构造就简单得多,只需一个分光镜和两个探测器即可[2-3]。相位差法除了可以应用于传统的整镜波前探测之外,还可以应用于拼接镜波前探测[4-7]以及高分辨率目标重构[2, 7-8]。相位差法最早由R.A.Gonsalves于1979年提出[9],不过其理论基础———GS算法,却早在1971年由Gerchberg和Saxton提出[8, 10]。然后, R.G.Paxman用统计学的方法,对存在噪声的PD算法做了最大似然估计,对如何寻找目标函数的极值做了大量的理论分析,并用计算机进行了模拟,取得了理想的效果[2]。之后,R.L.Kendrick等人在实验室中,搭建光路,综合各种算法,成功验证了PD算法[11-13],并在实际检测凯克II望远镜各子镜piston误差中取得了成功[6]。现在,人们在为将相位差法在工程上实现进行着不断的努力,并在理论层面上也进行着更广泛的研究[14-15]。

　　文中第二部分论述了相位差法的基本原理,第三部分详细阐述了实验过程、结果以及实验中的不足,最后对本文做了一个总结。

　　2　PD方法原理简介

　　相位差(PD)方法的基本原理是由焦面像、离焦面像以及光瞳函数构造目标函数,并在目标函数取极小值时获取波前信息的一个最大似然估计值,原理如图1所示。

　　对拼接镜而言,其相干传递函数CTF形式如下[7, 16]:

　　式中,An(u)表示对于拼接镜而言每块拼接镜所对应的光瞳函数;N表示拼接镜系统中拼接子镜总数。n(u)则对应拼接镜的波像差。相应的,对应拼接镜离焦面的CTF形式如下:

　　其中,Δ(u)表示所引入的已知的相位差异,它可以由第二幅图像的像面距焦面图像的距离差ΔZ获得,公式如下:

　　ND的取值一般在0.5~1.5之间[7,18]。离焦面的OTF为离焦面CTF的自相关:

　　G(u)和Gd(u)为焦面像和离焦面像在频域中的表示。S(u),Sd(u)和F(u)均未知。离焦相差的引入使得我们知道了S(u)和Sd(u)之间的关系。假设我们估计焦面、离焦面的OTF以及频域中目标分别为S^(u),Sd(u)和F^(u),则可构建如下目标函数[7]:

　　由式(10)可见新的目标函数E只是关于OTF或者只是关于焦面波像差的量,与目标无关。由式(8)可见,当目标函数E取极小值时,S^(u)和S^d(u)分别为S^(u)与S^d(u)的最佳估计[2]。所以波前探测的问题变为目标函数E的极小值问题。标准的非线性优化算法可用于此类问题的求解,其中使用导数的优化方法有最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等[17],目标函数的导数可参见文献[2]、[7]。无约束最优化的直接方法有模式搜索法、Rosenbrock方法、单纯形搜索法以及Powell方法[17],此类方法不需要知道目标函数的导数即可求解,效果也比较理想。本文优化求极值的过程采用了遗传算法[19]及模拟退火算法[20-21],防止目标函数局部收敛,然后又采用单纯形法和模式搜索算法,进一步减小目标函数值。