基于小波函数的时域多分辨分析在近场光学中的应用

　　时域有限差分法(FDTD)、格林函数法(Greenfunction)、微绕法(Perturbation approach)是目前用于近场光学的主要数值模拟方法[1,2]。其中,以FDTD算法最为简捷,应用最广泛。近年来,一种称为时域多分辨(MRTD)的方法引起了众多学者的注意。

　　MRTD利用伽略金方法直接将麦克斯韦方程在时间和空间用小波展开,得到了按照时间和空间迭代的差分方程[3]。Zhu Xiangyang在2003年将基于CDF小波三维MRTD用于计算电磁散射[4]。2007年代少玉等成功将基于Daubechies小波的MRTD应用于光子带隙结构模拟中[5]。

　　常用的小波基有Haar小波,Battle-Lamarie小波和Daubechies小波,但是这些小波基或者不连续影响到数值特性(Haar小波),或没有有限支撑性(Battle-Lamarie小波),或不具有对称性(Daubechies小波)。因此,本文采用具有较少消失矩且连续对称的CDF小波[CDF(2,2)]作为基函数对各场分量进行一级小波展开·其中的参数(2,2)与小波族的分解重构长度有关。由双正交小波的构造方法可知,用其作为展开函数具有线性相位特性。即经分解重构后,输出信号将不产生相位畸变[6]。这一点对近场模拟尤为重要,因为在近场成像中,很重要的一部分信息来自高频的隐失波分量。

　　1　基于CDF小波的W-MRTD算法

　　二维TM情况下,普通媒质的麦克斯韦方程组可写成(以Ex分量为例)

　　把上式中的场分量用基于CDF的双尺度函数~和双尺度小波函数~ψ展开,

　　将(2)式代入(1)式并用标准Galerkin法检验后[3]得到下列迭代式:

　　其中la,lb,lc,ld分别等于对应系数非零项个数的一半。由于展开函数的紧支性,使得上式中a,b,c,d仅有有限个非零项,这样就使程序计算得到简化,表2分别列出其对应CDF(2,2)的系数。

　　特定空间离散点场的计算可以根据尺度函数和小波函数展开系数而求得,仍以Ex为例:

　　由于展开函数的紧支性,只需对上面求和式取有限项即可。为使计算达到数值稳定,时间步长应满足下列公式

　　2　入射场设置和各向异性吸收边界(UPML)

　　W-MRTD入射场的引入类似FDTD。将整个计算空间分成两个区域:总场区和散射场区,其中散射体位于总场区,对于连接边界处的特殊处理使得边界处只有外行的散射场[1]。与FDTD不同的是W-MRTD有更多的入射波分量,但这没有本质的区别,只是增大了程序的复杂程度。为模拟无限电磁场分布,必须有效地截断边界。本文采用8层UPML作为吸收边界条件,并在UPML层外设置理想导电壁。为验证此边界条件的有效性,在简单的散射模型中使用两步法对反射进行了模拟。图1为UPML作为吸收层,散射体类似二维光栅结构的示意图。散射体折射率为1·5,尺寸为40 nm×100 nm,放置在真空中。测试点位于图中#1处,到散射体距离l=50 nm,激励源采用高斯脉冲。定义相对局部误差为[v(t)-v0(t)]/[v0(t)]max,v(t)为受边界影响的测试值,v0(t)为扩展计算空间后还未受边界影响的测试值。图2为#1点的相对局部误差曲线,可见反射引起的误差在很小的一个范围内,符合计算精度的要求。