用三维点云计算活塞腔的体积

　　0　引言

　　工程中,有一些表面形状比较复杂的活塞,为计算其体积,往往在活塞腔里面注满水,然后量测水的体积以得到活塞的体积。这种方法不便操作。本文提出一种用光学测头扫描活塞腔的密集三维点云,然后利用前期工作开发的三维点云处理软件对扫描的密集三维点云进行分析处理,以此计算活塞腔体积的新方法。

　　1　体积计算原理

　　图1是一个活塞腔的数字照片。这里,活塞腔的体积可以描述为端平面与活塞腔表面所包含的空间的体积。设活塞腔表面在端平面上的投影区域为S,以活塞的端平面为xy平面建立坐标系,如图2所示。活塞腔上任意一点的坐标为(x,y,z),任意则活塞腔的体积可以表示为:

　　2　体积计算步骤

　　在实际扫描过程中,由于装夹误差的客观存在,活塞端平面不可能与测量坐标系的xy平面重合或平行。因此首先要进行坐标变换,使端平面与xy平面平行。为此设计了以下数据处理步骤。

　　(1)分割数据云。将端平面上的数据点和活塞腔表面上的点分别分割出来。

　　(2)拟合端平面。对分割出来的端平面上的数据点进行最小二乘拟合,得到端平面的方程。

　　(3)坐标变换。对数据云实施坐标变换,将端平面变换到与xy平面重合的位置。此时端平面上测点的z坐标为0,而活塞腔表面上的测点z坐标为该点到端平面的距离。

　　(4)将变换后的活塞腔表面上的测点的z坐标带入式(2),计算活塞腔体的容积。

　　图3是用光学测头扫描出的图1中活塞腔的原始密集三维点云。图4是经过分割处理之后的活塞腔表面三维点云和拟合之后的端平面。

　　用此方法对该活塞腔进行密集采样,x、y向的扫描间距分别为0·5mm、0·6mm,用上述方法计算出的体积为12832m。用注水法计算的体积为12820m。相对误差为0·09%。

　　3　误差分析

　　这种方法计算体积的误差分两部分,一部分是离散误差,另一部分是测量误差。

　　先讨论离散误差。公式(2)中,当Δx,Δy趋于零时,等式右项趋于等式左项。即

　　由式(3)可见,扫描间距越小,离散误差也越小。离散误差是由于这种体积计算方式是将连续的物体表面离散为一个一个的小长方体来近似计算而产生的。可以用一个半球面的仿真测量计算来研究离散误差的性质。

　　一个半径为1的半球体,其体积为2·09440。将其按不同的扫描间距离散,按式(2)计算其体积,得到表1的结果:

　　由表1可以看出,离散误差随扫描间距的减小而降低。当扫描间距为0·014×0·014,相当于半球体的端面面积(3·14159)的0·0062%时,离散误差的相对误差为0·01%,可以忽略不计。在本文的活塞腔体积的测量计算中,扫描间距为0·5×0·6,相当于腔体部分端面面积(17000×0·5×0·6)的0·006%,可以认为其离散误差的相对误差在0·01%的水平,是可以接受的。