单层板频散曲线的矩阵表示及Matlab实现

　　在自由板的某点上激发超声波,由于激发区域的超声波传播到板上下表面时,会产生波型转换,在板内传播一段时间后,因叠加产生“波包”,从而形成兰姆波。兰姆波是超声检测中最常见的导波形式。对于不同材料和尺寸的板,选择合适的模态十分重要。兰姆波在自由板中的传播这一问题的精确解,可通过几种不同方法得到。常见的解法是势函数法和子波法^[1]。位移势函数法是用势函数表示板中的位移和应力,然后利用边界条件得到对称模态和反对称模态的频散方程。郑祥明等^[2]对该方程进行了数值解。由于两种模态的方程需要分开求解,在编程实现过程中,需将相速度划分为不同的定义域求解,求解过程较复杂;且通常用二分法迭代求解,求解速度较慢。笔者采用子波法对自由板的Navier运动方程求解。多层结构频散方程的推导即采用该方法^[3],且对单层板也同样适用。该法即假设兰姆波由向上表面和向下表面传播的纵波和横波等子波组成,通过子波来描述兰姆波在板中的传播。并用程进行数值求解。同时通过斜率法得到不同模态的频率2相速度点,计算出群速度频散曲线。

　　1　自由板频散方程的矩阵表示

　　单层板模型如图1所示,两表面坐标y=h/2和

　　S+,L+———向上表面传播的横波和纵波

　　S-,L-———向下表面传播的横波和纵波

　　y=-h/2为自由表面,其中h为板的厚度。该问题满足Navier位移运动方程,即

　　式中　μ,λ———板的Lame常数

　　ρ———板的密度

　　U———广义位移场

　　t———时间

　　利用Helmholtz分解,U可分解为标量势φ和矢量势H两部分。考虑到平面应变问题,所以H仅有z向(沿垂直纸面的方向)分量Hz,Hz和φ均为x,y的函数,与z无关。当波沿着x轴的正方向传播时,假设Hz和φ解的形式如下

　　式中　k———波数

　　ω———角频率

　　从而得到下列微分方程

　　式中c1和c2分别为板的纵波和横波波速。式(4)和(5)的解分别是

　　式中　A(^_L+),A(^_L-)———向上和向下表面传播的纵波波幅

　　A(_^S+),A(_^S-)———向上和向下表面传播的横波波幅

　　由上两式可得

　　上两式即为平面应变条件下Navier位移运动方程用各子波幅度表示的解。通过应力和位移之间的关系及虎克定理,可得到正应力和切应力的解

　　用行列式合并表示为

　　由于自由板的上下表面均为自由边界,无应力作用,正应力和切应力为零。由此可得