用于离散时间模型降阶改进的最小信息损失方法

　　在控制系统设计中,常常会碰到复杂的对象模型。虽然高阶模型可以更好的描述对象的动态行为,但也会增加计算的负担和系统的复杂性。因此,在应用中往往根据实际需要进行模型降阶,以简化系统模型。

　　近年来,人们提出了很多适用于线性稳定系统的模型降阶方法,如状态集聚法、Hankel矩阵法、平衡实现法[1]、协方差等价实现法[2]等。另外,还有一类基于信息论的降阶方法,如最小Kullback-Leibler信息距离方法[3]和最小信息损失方法[4]等。这些方法从信息论的相关概念和原理出发,为研究模型降阶问题提供了全新的角度。

　　文中以离散时间系统为研究对象,首先简述最小信息损失方法的原理及其具体算法,并对其优缺点进行了分析;然后针对其存在的降阶结果的不惟一性提出了改进方法,并给出了仿真结果。

　　1　最小信息损失方法及其分析

　　1.1　最小信息损失方法

　　考虑渐近稳定、能控能观的线性离散时间系统

　　其中,x(t)∈Rn,w(t)∈Rm,y(t)∈Rp;A,B,C为具有相应维数的定常矩阵;w(t)为单位协方差的零均值高斯白噪声向量,w(t)和x(0)不相关。

　　设降阶后的模型为

　　其中,xR(t)∈Rr,yR(t)∈Rp,r≤n;AR,BR,CR为具有相应维数的定常矩阵。

　　模型降阶过程可看作由两步组成:

　　1)对原系统进行适当的相似变换,使状态变量按照某种意义上的重要性的大小进行排序;

　　2)将那些最不重要的状态变量截去,即可得到降阶模型。

　　根据上述观点,文献[5]中指出,降阶模型(AR,BR,CR)可看作是由全阶模型(A,B,C)经如下变换得来:

　　其中,变换矩阵LR,TR满足

　　最小信息损失方法(MIL)[3]考虑的原则是,在获取降阶模型的过程中,使包含在系统状态中的平均信息的损失达到最小。

　　设X(t)为全阶模型(A,B,C )的状态协方差矩阵,因为系统渐近稳定,所以存在稳态状态协方差

　　X是如下Lyapunov方程的正定对称解

　　由信息论中熵的定义[5]可知,该系统状态的稳态信息为

　　类似地,对降阶模型(AR,BR,CR)有

　　稳态状态协方差XR是如下Lyapunov方程的正定对称解:

　　该系统状态的稳态信息为

　　式(8), (11)也可以分别解释为全阶模型(A,B,C)和降阶模型(AR,BR,CR)系统状态的平均信息。定义降阶前后的系统状态的平均信息损失为

　　最小信息损失方法就是要使IL(x,xR)达到最小。文献[4]中已经证明,当选择全阶模型(A,B,C)的稳态状态协方差X的r个最大的特征值作为降阶模型(AR,BR,CR)的稳态状态协方差XR的特征值时,可以使系统状态的平均信息损失达到最小。