弹性约束半空间内浅埋圆孔对SH波的散射

　　1　引言

　　弹性波散射理论在地震工程、土木工程、海洋工程和无损探伤等领域都有广泛应用。利用矢量的Helmholtz(亥姆霍兹)分解可以将弹性介质中点的位移矢量分解为出平面(也叫反平面)位移分量和面内位移分量,因而稳态弹性动力学问题将转化为反平面剪切问题和面内问题两种类型的波动问题(或振动问题)。由于出平面问题涉及到的波动方程是标量的,所以研究起来相对于面内问题(涉及到矢量波动方程)比较简单,但是人们在反平面波动问题研究方面仍在进行大量的探索工作,这主要是由于,一方面反平面波动问题有其自身的应用背景,尚有许多问题需要新的方法解决;一方面反平面波动问题的研究成果可以作为研究面内波动问题的参考和基础;另一方面是有大量的瞬态反平面动力学问题急待解决,而稳态反平面问题的研究可为此打下基础。目前研究SH波散射问题的方法主要有两种,一种是数值法,解决问题范围广且计算格式规范统一,缺陷是不利于解析问题现象的本质;另外一种方法是解析法,解决问题的范围相对狭窄,主要受限于数学理论和方法,但是能透视问题的本质。事实上,稳态SH波(shearing horizontal,反平面剪切)(包括面内波动)散射问题实际上可归结为一个纯边值问题,不同边界条件往往需要采用不同的方法处理,因此不断寻找新的方法,一方面可以丰富弹性波散射理论,另一方面还可以解决源源不断出现的新的边值问题。从参考文献[1-15]看,人们多集中于自由半空间　　边界存在凹陷、凸起、空间内圆孔、夹杂或分布载荷作用边界半空间问题等方面的研究,而有关弹性约束边界半空间问题的研究却没有见到有论文发表。由于介质内位移场是未知的,所以半空间边界点的位移就是未知的,因而弹性约束力事先是不能确定的,这使得构造问题的位移场存在困难。本文利用一个半径很大的圆孔逼近或拟合半空间直边界,从而将原来的弹性约　　束半空间内圆孔对SH波的散射问题转化为无限大空间内弹性约束大圆孔和自由边界小圆孔对SH波的散射问题,避免直接构造位移场的瓶颈。

　　2　问题模型和分析

　　如图1所示,弹性约束边界半空间内浅埋一个圆形自由边界孔洞,假设孔洞的掩埋深度为h,半径为R;半空间直边界弹性约束刚度系数为g;介质的质量体密度和剪切模量分别为ρ和μ。建立如图所示的直角坐标系xoy、x1o1y1和x2o2y2。并假设半空间直边界为ΓH,圆孔边界为ΓR。一列稳态入射平面SH波以入射角α在介质内传播,并与半空间直边界和圆孔边界发生作用,从而在半空间内产生平面反射波W(r)(x,y)和散射波W(S)(x,y)。假设入射平面SH波函数可表示为