复杂惯性敏感结构的矩阵解析建模方法

　　0　引　言

　　微惯性器件的性能首先取决于其挠性支承结构(检测质量与挠性支承的有机组合)的力学性能[1~3]。诸多原因导致微惯性敏感结构日趋复杂: 1)高性能惯性器件需要采用更复杂的挠性支承结构。例如: 2轴、3轴惯性测量时,需要利用交叉耦合小的复杂挠性支承结构解耦加速度矢量;2)受空间尺寸和驱动能量的限制,要在微小的敏感芯片内实现能量传递、运动转换和调节控制等功能,并满足规定的动作和精确度。

　　由于微加工仍以平面制造为主,微惯性敏感结构的复杂主要体现为组合复杂,即由最简单的弹性支承(如定截面悬臂梁)经复杂组合而成,并且,往往具有明显的结构对称性[4]。

　　当前,复杂微惯性敏感结构微惯性器件的设计、分析主要采用简单化、个案处理的解析建模方法,或应用商用有限元软件对具体结构数值模拟仿真、试凑性优化。

　　针对当前微惯性器件中复杂挠性支承结构设计、分析中缺乏通用解析建模方法的不足,本文提出了一种解析建模方法——矩阵解析建模方法(matrix-based analytic mode-lingmethod),论述了该方法的基本概念、刚度矩阵与弹性矩阵的坐标系变换和集总计算等问题,并结合实例简要说明了应用该方法的基本步骤。

　　1　基本概念

　　对基于最小势能原理(位移法)的有限元法,求解的一般步骤为: 1)求解区域的离散; 2)选择单元的位移模式; 3)建立单元刚度矩阵和单元等效结点载荷; 4)集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵; 5)施加位移便捷条件; 6)求解有限元总体方程,得到结点位移; 7)由单元的结点位移计算单元应变和应力[5]。

　　由于微惯性敏感结构具有组合复杂的特性,是空间中与检测质量连接的挠性支承元件(杆、柱、梁、轴)的组合,如果将挠性支承元件作为解析计算的基本单元,将刚性的检测质量和挠性支承元件视为具有空间六自由度的元件,借鉴上述有限元法的原理,形成了矩阵解析建模方法的最初设想。

　　假设图1中挠性支承元件m无质量,检测质量是绝对刚体,与挠性支承元件m自由端连接,质心位于坐标原点。将作用于检测质量质心的力和力矩定义为广义力矢量

　　其中,前三项为在三轴方向的力分量,后三项为在三轴方向的力矩分量。

　　定义元件m的广义位移矢量

       其中,前三项为元件m在三轴方向的线位移,后三项为三轴方向的角偏移。

　　2　坐标系变换

　　显然,同一挠性支承元件的刚度矩阵或弹性矩阵在不同坐标系下是不同的。广义力矢量也与坐标系有关。若挠性支承元件m在(局部)坐标系O_ix_iy_iz_i中的刚度矩阵C(m){i}已知,可按下式转换到(全局)坐标系Ox₀y₀z₀中