高精度有限差分法模拟Kelvin-Helmholtz不稳定性

　　数值模拟给出的扰动幅值线性增长率与线性稳定性分析给出的结果很好符合,显示了该格式的有效性和精度。数值模拟给出了清晰的密度等值线,表明该方法还具有较好的界面变形捕捉能力。当相互接触的两层流体存在速度间断时,流体是Kelvin-Helmholtz(KH)不稳定的[1]。KH不稳性广泛存在于自然界中,如乌云的剪切翻卷,海浪的形成和破碎,太阳风和地球磁圈相互作用[2],河外射电源中的射流[3],超新星爆炸以及双星系统的合并等等。KH不稳定性对Rayleigh-Taylor(RT)和Richtmyer-Meshkov(RM)不稳定性[4-7]中的小尺度混合尤为重要,在RT和RM不稳定发展的后期流体界面产生强剪切流,KH不稳性被激发从而导致流体小尺度混合。KH不稳定的出现加重了RT和RM不稳定性后期的非线性发展,加剧了界面附近流体的混合过程。

　　直接数值模拟是目前研究KH问题的主要手段之一。KH不稳定性进入非线性阶段[8-10],界面严重扭曲,拉氏计算方法存在网格相交的严重困难,现一般采用欧拉计算方法。流体不稳定性发生在大密度梯度的地方,需要使用高精度欧拉格式。20世纪70年代中期以来,发展了不少高精度欧拉数值方法,用于惯性约束聚变流体不稳定性模拟的数值方法主要有FCT[1]、TVD[2]和Godunov[3]三种。目前常用的这三种数值方法在精度上大都存在局限。低精度的格式具有较大的耗散和色散误差,用于模拟KH不稳定性尤其是其非线性规律时,为了保持计算精度,往往需要较多的计算网格,这就增加了计算量,在某些情况下计算量会超出我们的计算能力,而采用高精度的格式进行计算不但可以提高计算精度,还能较大地提高计算效率,所以探索适用于KH不稳定性数值模拟的高精度数值方法具有重要的现实意义。

　　1987年,Harten等人提出了求解双曲守恒率组的一种本质上无振荡的广义Godunov格式[14],简称为ENO格式(Essentially Non-Oscillatory Schemes)。基于所有模板的凸组合而构造的加权本质上无振荡格式,简称为WENO格式(Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes)。WENO格式是1994年由Liu,Osher等人在ENO格式构造思想基础上提出的[15]。ENO格式具有在间断区分辨率高,在光滑区计算精度高等优点,但也存在着一些不足之处。WENO格式通过引入变化的加权因子,使格式在光滑区的截断误差阶数又有了进一步提高,而在间断附近仍然保持了ENO格式良好的分辨能力,并且格式的稳定性又有了进一步增强。WENO格式自提出以来已有了长足发展,特别适合计算包含各类间断的复杂流场。这里我们选用WENO方法模拟KH不稳定性问题。

　　1　数理模型

　　惯性约束聚变中,粘性的作用很小,基本上可以忽略,这里考虑无粘流体中的KH不稳定性。无粘流体KH不稳定性的控制方程是欧拉方程,2维欧拉方程的守恒形式为