无网格Galerkin法在金属弹塑性大变形问题中的应用

　　利用有限元数值模拟技术是目前金属塑性成形问题中广泛采用的数值分析方法[1, 2]。但由于有限元法依赖于网格,所以在分析大变形时会遇到许多困难,如出现网格畸变等现象[3~7]。而无网格数值模拟方法不需要网格单元,只需要具体的结点信息,直接利用结点信息对计算域内的任一点的位移进行拟合,这样可以消除(或部分消除)网格存在带来的困难[8]。通过无网格法在弹塑性大变形问题、接触摩擦问题、金属体积成形、板料成形等领域进行了一些应用研究,获得了较好的应用成果[9]。因此,无网格法比有限元法能较好地处理金属塑性成形问题,特别是具有大变形特征的问题。

　　笔者将无网格伽辽金法应用于金属塑性成形过程中的弹塑性大变形问题中。采用修正拉格朗日法建立金属弹塑性大变形无网格方程。利用FOR-TRAN语言编写了模拟程序。并以圆柱体压缩和反向平面挤压两种金属弹塑性大变形工艺为例进行了过程模拟,将模拟结果与ANSYS结果进行比较。

　　1　理论分析

　　1·1　无网格伽辽金法的基本原理

　　无网格伽辽金法(EFG)是使用移动最小二乘法(MLS)将任意一点x的位移u(x)的近似函数uh(x)构造为

式(7) ~式(14)中: [K]称为切线刚度矩阵; {P}称为节点外力载荷; [k0]与位移增量{Δu}无关,被称为小位移刚度矩阵; [kσ]与应力[τ]有关,而[τ]是每次增量计算时的初应力,被称为初应力刚度矩阵; [kl]与位移增量有关,称为大位移刚度矩阵;{f}是节点集中力; {F}与已知的应力有关,称为初应力内力节点力; {Q}是外力和体力节点载荷;[BL]为线性应变矩阵; [B*N]为非线性应变矩阵。求解方程(7),即可求出每一增量步的节点位移增量。然后,根据位移、应变和应力关系求出该增量步的应变增量和应力增量。

　　1·3　修正弹塑性应力应变矩阵

　　为了提高计算精度和加快收敛速度,将加载、卸载状态检验时所得比例因子m对弹塑性应力应变矩阵[C]ep进行修正。

　　2　算例

　　算例1　圆柱体压缩的平面力学模型和离散图如图1所示,计算模型尺寸为 10 mm×10 mm。考虑该问题的对称性以及节约计算时间,只取1/4进行模拟,数值计算时采用节点分布为12×12。材料采用金属铝合金,材料性能参数如下:弹性模量E=7·5 GPa,屈服极限σs=400MPa,泊松比μ=0·175。

　　选择整体的最大垂直位移为8 mm进行模拟,计算总步数为46步,得到不同变形阶段的最大直径和高度,并计算各个变形阶段的截面面积,见表1所示。变形量为32%、44%、55%、63%、71%和80%时圆柱体截面变形情况分别如图2~图7所示。

　　算例2　反向平面挤压问题的力学模型及离散如图8所示。工件的原始尺寸为10 mm×20 mm,考虑对称性,分别采用EFG方法和FEM模拟1/2模型。所采用的材料同圆柱体压缩算例。