12结点三维等参奇异单元的构造和应用

　　1　引言

　　在线弹性断裂力学中,应用有限单元法计算裂缝的应力强度因子时,通常构造了奇异单元以模拟裂缝前沿应力、应变场的1/r奇异性[1-6]。目前常用的空间20结点等参奇异单元,其位移模式在三个坐标方向都是二次变化的[7],不能与线性位移模式的单元协调连接。

　　采用有限单元法计算大型三维结构体中局部裂缝的应力强度因子(例如,计算大跨径钢桥面铺装层表面裂缝的应力强度因子)时,所关心的是裂缝前沿局部位移场的精确模拟,应用三维奇异单元布置在裂缝前沿基本上可以达到理想的效果,而奇异单元周围采用结点数较少的、线性位移模式的单元划分网格,对计算结果影响不大,却能大大降低计算规模、提高计算速度。

　　如图1(a)所示的20结点三维等参奇异单元是由图1(b)所示的常规20结点空间等参单元蜕变而得到的,这种单元的位移模式在三个坐标方向都是二次变化的,若与线性单元连接,无法使交界面满足位移协调条件,这就需要寻找一种能与线性位移模式协调连接的奇异单元。本文构造的12结点空间等参奇异单元可以解决这个问题。

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　　从式(13)可以看出,当r→0时, N1/ x具有1/ r奇异性,同理可以推导出其他各项 Ni/ x的奇异性,回代入式(9),这样就推导出了P点的应变分量εx的1/ r奇异性,这也是该点应力分量σx的奇异性。P点的其他应力、应变分量的奇异性,可有同样的步骤推导出来。

　　该单元的应变矩阵、应力矩阵、劲度矩阵、荷载列阵及数值积分等单元分析的步骤与其他等参单元相似,在通用有限元软件平台上进行二次开发,即可应用该奇异单元计算三维裂缝前沿的应力强度因子。

　　4　应用实例

　　图3所示为三点弯曲小梁试件,各参数厚度为

　　采用有限元法计算应力强度因子,裂缝前沿布置12结点空间等参奇异单元,周围布置常规8结点等参单元,图4(a,b)为该试件的有限元网格。厚度可以与常规单元相同,标准三点弯曲梁在对称荷载作用下,厚度方向中截面上的两类反对称开裂模式的应力强度因子KII和KIII为0,只有对称开裂模式的应力强度因子KI不为0,计算结果列入表1。从表1中的数据可以看出,利用该新型奇异单元计算得到的应力强度因子值与式(14)的计算结果很接近,最大的误差值为5%。

　　5　结　论

　　为了解决空间20结点等参奇异单元无法与线性常规单元协调连接的问题,本文构造了一种新型的12结点空间等参奇异单元,并证明了该单元位移模式的完备性和应力场的奇异性;由于该单元的位移模式在一个坐标方向是二次变化的,在另外两个坐标方向是一次变化的,使得与该两坐标轴构成的坐标面平行的单元边界面可以与线性单元连接,并满足位移协调性。