层流泡状流双流体模型的积分解法

　　泡状流是常见的自然现象,也广泛存在于能源、动力、化工、冶金、航空等工业领域。近年来出现了许多关于泡状流的理论[1 5]和实验[6 9]研究报道。通常对泡状流的研究使用双流体模型[1,2],宋蔷[2]在补充了相应的本构关系式后,得到了柱坐标系下的垂直圆管内充分发展段冷态不可压层流泡状流的双流体模型如下(质量守恒方程在此条件下恒成立,故省略):

　　气相:

　　式中:r、z代表柱坐标系坐标,d、R、g、Re分别表示气泡直径、圆管半径、重力加速度和相对Reynolds数,ur=ug-ul表示轴向相对速度,pg、αg、ρg、ug分别是气相的压力、体积分数(即空泡率)、体积质量和轴向速度,pl、αl、μl、ρl、ul分别是液相的压力、体积分数、粘度、体积质量和轴向速度,CD、CL、CP、CW、Cμ,b分别代表阻力系数、升力系数、压力差系数、壁面力系数和切向脉动应力系数。

　　对于该模型通常是直接用数值差分[1]的方法进行求解,数值差分方法虽然能够得到比较精确的数值解,却无法直观地揭示流场的成因。本文则采用积分解法,即先得到该模型的近似解析解,然后再用数值方法迭代求解。

　　1　模型的近似解析解

　　对于垂直圆管内充分发展段的层流泡状流,压力场存在如下关系:

　　由空泡率的定义可知:αg+αl=1;由式(1)和式(5)可得:ur=const。利用式(5)和式(6)的关系将式(1)与式(3)合并,式(2)与式(4)合并。得:

　　在双流体模型中假设离散相为拟流体,因此可以利用气、液相的边界条件,对上述双流体模型进行积分求得近似解析解。管中心和管壁处的边界条件如下:

　　ul是沿着轴向的,故应主要受轴向力的作用。式(11)则很好地体现了这一点,其右侧第1项表示阻力对液相速度的影响,第2项表示浮力对液相速度的影响,而第3项则表示空泡率径向分布不均对液相速度的影响。

　　式(8)的一个解是αg=0。如果αg比较小,则式(8)中的(1-αg)可近似为1,因此对式(8)的中括号部分从管中心积分到r,有

　　其中:分别代表管中心的空泡率和液相速度。从式(12)可以看出圆管内空泡率的径向分布主要受升力和壁面力这两个径向力的影响。

　　2　近似解析解的数值计算方法

　　用于描述泡状流流场的参数主要有液相速度ul、气相速度ug和空泡率αg的径向分布等。对于垂直圆管内充分发展段的泡状流,在给定液相表观速度USL、气相表观速度USG及气泡直径d的情况下,可以利用上述模型对流场进行预测。在该模型中,ul、ug和αg是耦合在一起的,因此需要用数值迭代的方法来进行求解。具体的求解方法如下: