矩形截面管流动的康脱洛维奇解法

　　水工建筑及各种水处理设备中，常常采用各种非圆截面的异型管道，其中包括矩形或正方形截面的管道。在水工设计和管路的水力计算过程中，要涉及到管道流速分布的计算。本文利用康脱洛维奇变分原理，由管道流动问题所对应的能量泛函的极值条件来求解矩形截面管不可压缩粘性流动的流速分布规律。计算结果表明，这种方法切实可行并且有足够的精确度，适宜于工程计算应用。

　　1.基本原理及公式

　　微分方程边值问题的变分解法在工程问题中应用广泛。文献[1]E中详细叙述了康脱洛维奇变分解法的原理，这种方法可以方便地用于多变量函数的泛函变分问题，它选用全部或部分满足边界条件的函数系列把变分问题的近似解设为：

　　式中为变量xn的待定函数，通过对泛函数变式分求值的方法可以得到 (xn)的欧拉方程，它们一般为常微分方程组。解此微方程组即可得到各个待定函数m。代入式()就得到原变分问题的近似解。

　　如果采用一级近似计算，即待定函数 只取一项，于是近似解取为：

　　在康脱洛维奇变分解法中，由于解中的一部分是通过解欧拉方程得到的严格解，所以采用一级近似计算时也有较好的精确度。不可压缩粘性流动的方程为[2]

　　p——— 流体的密度

　　pv——— 流体的速度

　　pf——— 流体单位质量力

　　p——— 流体的动压力

　　u——— 流体的动力粘性系数

　　对于矩形截面管流体的流动，若取管道轴线为直角坐标系的x轴(图1)，考虑粘性不可压缩流体的定常流动，由于流体沿x轴流动，故有当不计质量力F时,

　　式中u为粘性流体沿x轴方向的流速。

　　设矩形截面管道宽为2a，高为2b，引入以下无量纲变量

　　矩形截面管边界上流体的流速u为零，所以微分方程(5)的边界条件是

　　利用康脱洛维奇变分原理来求解无量纲微分方程(5)，此方程所对应的泛函为

　　式中D为矩形积分区域：设定形如式(1)或式(2)的近似解，采用无量纲变量，代入式(7)并利用泛函的极值条件，即可得到待定函数的欧拉方程(组)。由欧拉方程(组)解出待定函数后便可得到微分方程(D)满足边界条件的近似解答。

　　2计算实例

　　计算边长为2a的正方形管道中流体的流动。采用无量纲变量,

　　上式在上的边界条件由来满足。将式(9)代入泛函(8)，完成对的积分后，再利用泛函极值条件0，可得到待定函数欧拉方程