模态振型拟合薄镜面变形分析

    0 引 言

    波面重构技术是主动光学中主动校正力求解的关键技术之一，包括波前拟合和波前重构^[1]。薄镜面主动光学常用的波面拟合底基函数分为两种： 一种模式侧重光学像质表达，如 Zernike 多项式；另一种模式侧重机械结构特性，如主镜的自由谐振模式。 主动光学试验中，用 Zernike 多项式拟合薄镜面主镜变形的方法由来已久，前人也做过不少研究：中国科学院长春光学精密机械物理研究所在直径为400 mm主动光学试验中就使用Zernike 多项式拟合波面变形,苏州大学在进行 500 mm 主动光学试验时也采用Zernike 多项式拟合主镜变形^[2-7]；而自由谐振多项式拟合主镜变形则是欧洲南方天文台（ESO）在 20 世纪90 年代提出的新方法^[6]，他们在对 VLT 的主镜进行动力学分析时发现， 主镜的自由谐振动模式与通常的光学波前的像差模式十分相像， 提出用主镜本身的自由谐振动模式拟合波前误差， 并用来做主动改正，成功应用于 VLT 望远镜。

    文中根据薄镜面主镜自由谐振的微分方程，结合工程实际给出了薄镜面主镜振动的前10 阶模态振型图，对比分析了自由谐振模式与 Zernike 多项式的在圆域内径向变化的特点。 采用模态振型和环域内的Zernike 多项式分别拟合有限元分析得到的主镜变形，给出了拟合结果及残差 ，最后指出了采用模态振型拟合主镜变形的优点以及使用的局限性。

    1 自由谐振模式

    当主镜的径厚比(2r/ h)很大 ，且主镜的厚度与主镜曲率半径相比(h/ R)很小时 ，在分析其变形时就可以把主镜模型简化为薄壳模型。

    ESO 的 L. Neothe 博士在对 VLT 的望远镜主镜进行动力学分析时， 给出了描述薄镜面主镜自由谐振模式的微分方程^[8-9]：

式中：为主镜刚度，E 为弹性模量,h 为厚度，v为泊松比； 为微分算子，R为主镜曲率半径ρ 为主镜密度,ω为主镜谐振频率。

    方程解的形式为：

     w(r，φ)=Ψ_n(r)cos(nφ) (3)

     F(r，φ)=F_n(r)cos(nφ) (4)

式中：w(r，φ)为主镜变形；F(r，φ)为主镜应力函数；n为旋转对称数；Ψ_n(r) 为模态振型的幅值 ， 是关于Bessel 方程的函数 。 L. Neothe 博士给出了自由谐振振型在圆域和环域内的正交特性和完备性的严格证明；同时，自由谐振模式振型也具有旋转对称性，即坐标轴沿原点转动形式保持不变，仅引起幅角变化。

    结合工程实际给出材料为K9 玻璃的主镜模型的参数： 直径 2r=620 mm， 中心孔直径 2r₀=170 mm ，厚度h=18 mm， 曲率半径 SR=2 841.2 mm， 弹性模量E=90 600 MPa，泊松比 υ=0.26，密度 ρ=2.53×10^-9t/ mm³。