B类不确定度分量自由度公式的理论分析

　　测量不确定度的概念在测量历史上相对较新,但其在测量领域中的地位却是非常重要的,测量结果必须附有不确定度说明才是完整并有意义的。近几年来,国家出台的各项计量技术规范及计量检定规程都增加了不确定度的内容。因此,目前形势下,若要搞好计量检定工作,每一个计量检定人员需要学习并掌握不确定度理论,并且能够独立地对各自所负责的计量标准给出准确合理的测量不确定度评定。但测量不确定度理论是建立在概率论与数理统计基础上的,对不确定度理论的理解和掌握,要有较高的数理知识水平。这就给不确定度理论的推广和普及工作带来了很大的难度。通过近几年对测量不确定度理论的学习和实践,我们体会到对测量不确定度理论中的难点问题一定要给出相关的理论推导和证明。这样学习者才能从根本上对其理解和掌握,才能更加灵活地运用它去解决实际问题。

　　1　B类不确定度分量自由度公式的理论分析

　　由测量不确定度评定与表示指南,我们知道：

　　B类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定度u(xi)的相对标准不确定度Δ[u(xi)] /u(xi)有关,其关系为:

　　式中:Δ[u(xi)]是u(xi)的标准差,即Δ[u(xi)]是标准差的标准差,不确定度的不确定度。其实,式(1)同样适用了A类不确定度评定。式(1)在测量不确定度评定与表示中占有很重要的地位,计量检定人员在撰写《计量标准技术报告》时,也经常要用到此公式。许多初学者为了加深对此公式的理解和记忆,都希望知道此公式是怎样得来的。为此,我们对此公式增加了如下的分析内容。

　　1·1　预备知识

　　(1) x2分布的定义:设x1, x2,…, xn是独立分布的随机变量,且都服从N(0,1)分布。那么,随机变量y=∑ni=1x2i所服从的分布称为自由度为n的x2分布,记作y~x2(n)。

　　根据x2分布的定义:如果y~x2(n),那么我们很容易得到y的数学期望E(y)=n, y的方差D(y)=2n。事实上,因xi~N(0,1),所以E(xi)=0, D(xi)=1。另一方面,依据方差的定义　D(xi)=E{[xi-E(xi)]2}=E[(xi-0)2]=E(x2i)=1

　　而

　　由于x1, x2,……, xn相互独立,所以x21, x22,…,x2n也相互独立

　　于是

　　现在的关键问题是求出D(x2i),其中i=1,2,…,n。依据概率论中有关求方差的重要公式:

　　那么:

　　问题归结为求E(x4i)

　　∵xi~N(0,1),于是依据数学期望的定义,我们有:

　　转换到极坐标后,我们有I21=∫+∞0∫π20e-r22rdrdθ=π2∫+∞0-e-r22d-r22=-π2e-r22+∞0=π2于是I1=π2,而I=3I1=3π2, E(x4i)=22πI22π·3π2=3

　　于是

　　所以