不确定度的Bayes表征与分析

　　在计量检定与校准中,一项重要的工作就是给出测量结果的不确定度。目前,常使用的不确定度表征方法有:用测量结果的标准偏差表示的不确定度,即标准不确定度;以及用标准偏差的倍数或说明了置信水平的区间半宽度来表示的不确定度,即扩展不确定度。这些不确定度的表征方法都是建立在概率论和古典统计学基础上的,在大量样本的统计分析前提下,它表征了可合理赋予被测量值的分散性。本文提出一种新的不确定度表征方法即Bayes法。此方法除了考虑当前样本所提供的信息以外,还考虑其验前分布信息。下面,将就此进行分析,并对两种方法进行比较。

　　1　统计学基础上的不确定度表征概述

　　建立在统计学基础上的不确定度表征方法主要有[1]:用对观测列的统计分析进行不确定度评定,根据测量数据计算得到实验标准偏差,即用实验标准偏差来表示测量不确定度。设被测量x在同一条件下进行n次独立重复观测,观测值为xi(i=1,2,…,n),计算算术平均值x和实验标准偏差s(x):

　　当评定测量的重复性为A类标准不确定度分量时:uA=s(x)。当评定测量结果x的A类标准不确定度分量时:uA(-x)=s(x)/ n。这便是标准不确定度的表征。

　　还有一个就是所谓的扩展不确定度,当获得标准不确定度以后,设置一定的置信水平,可获得相应的包含因子。有: U=kuc。式中, U为扩展不确定度,uc为标准不确定度,k为包含因子。此时,测量结果的置信区间为x±U。

　　从基于古典统计学基础上的不确定度表征可看出,不确定度的计算,其实质就是确定测量结果分布函数中的参数。对于正态分布,其概率密度函数为:P(x)=1σ2πexp(x-u)22σ2。其中,分布参数μ、σ2的最大似然估计量分别为1n∑ni=1xi和1n-1∑ni=1(xi--x)2。而扩展不确定度的计算就是对测量结果的区间估计。然而,由于古典统计理论是建立在概率的频率意义上,因此区间估计中的置信度都必须从大量重复独立试验的角度去解释。这种置信度是事先就指定了的,它与所获得的样本是无关的。但在实际计量测试中,有时需要把置信度与所得的样本联系起来,进行不确定度的表征,从而引出了Bayes表征方法。

　　2　不确定度的Bayes表征方法

　　根据Bayes理论,关于参数θ的任何统计推断必须依据未知参数θ的验后分布来进行。在获得样本之后,验后分布反映了对参数θ的全部了解。而验后密度函数π(θ|x)作为θ的函数与验前密度函数π(θ)和似然函数的乘积成正比[2]。即:

　　式中:π(θ|x)为验后密度函数,L(θ|x)为似然函数。

　　式(1)提供了一种数学表达方式,用以描述当多个观测值相继得到时,信息的不断更新。当得到第一阶段的观测x1时,有: