虚悬臂梁法和梁位移可视化

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　　求解梁的弯曲变形是材料力学的重要内容之一，引起了众多研究者的兴趣[1 - 8]. 除了经典的积分法和叠加法之外，还有图乘法、奇异函数法和单位载荷方法. 图乘法虽然具有可视化的优点，但需要记住一些图形的形心坐标，且仅适用于直梁. 奇异函数法通过引入奇异函数，可建立挠度和转角的通用方程. 不过，奇异函数法仍属于积分法，摆脱不了积分法的固有缺点，即必须首先确定积分常数，然后才能建立通用方程. 单位载荷法具有很多的优点，可求任意截面任意方向的位移，不仅适用于直杆，也适用于曲杆，但仍然要进行积分运算. 还有一些针对特殊问题的求梁的位移的特殊解法[6 -8].

　　复杂问题的程序化和可视化是科技发展的必然趋势，近年来关于材料力学内容的计算机化受到了越来越多的重视[9]，文献[3]给出了计算杆系位移的有限单元法. 文献[2]根据静力学平衡理论提出了求杆件内力的等效作用截面法( 简单截面法) ，该法的突出特点在于直接写出内力方程，易于实现内力图的可视化. 本文笔者提出求梁位移的虚悬臂梁法. 基于虚悬臂梁法和等效作用截面法给出梁位移的可视化的基本公式和编程方法. 该法的突出优点在于，仅利用几个简单的悬臂梁位移公式就可以计算复杂载荷作用下杆件的任意截面的挠度和转角解题步骤规范，便于计算机编程和位移的可视化.

　　1 虚悬臂梁法

　　虚悬臂梁法的基本思想是，将梁或刚架的一个支座转化为有待求转角的“虚”固定端，利用另一个支座的边界条件，求出“虚”固定端的转角.不示一般性，假设简支梁如图 1( a) 所示. 虚悬臂梁如图 1( b) 所示. 简支端 A 处的转角为

　　w_B，FV为虚悬臂梁在虚主动力 F_V作用下支座B 处的挠度，虚主动力是包括所有主动力和约束B 处的支反力 F_B组成的力系，l_AB是支座 A 和 B之间的直线长度.

　　实梁任意截面的转角和挠度为

　　式( 2 ～3) 中: θ_FV( x) 和 w_FV( x) 分别是在虚主动力作用下虚悬臂梁上任意截面的挠度和转角. 注意虚主动力和位移正负均与相应的坐标系相一致.

　　该法适用于线弹性材料并且满足小变形条件.

　　2 梁位移计算的程序化算法

　　2. 1 描述问题的基本向量

　　梁位移计算程序化如图 2 所示. 在集中力、集中力力偶和分布载荷始末处设置节点. 节点数目为 N，节点坐标为  l_i; 梁段长度为 a_i= l_{i + 1}-l_i;梁段均布载荷为 q_i. 为了利用悬臂梁受简单载荷作用的位移公式，定义等效节点力 F_{i -}和 M_{i -}是方便的. F_{i -}和 M_{i -}分别是截面 i_-( 节点 i 稍左截面)以右梁段上所有虚主动力的代数和所有虚主动力对截面 i_-形心力矩的代数和，可表为