变频通带法确定回路有效Q值的计算式推导

　　一、引　言

　　用变频通带法测量回路的有效Q值,通常采用两类关系式来计算。一类是基于对简单LC串联回路谐振特性分析而得到的关系式[1,2];另一类是经过残量及分布电容修正的关系式[3,4]。

　　最近,作者对Q值问题作了进一步的探讨,获得了更普遍化的结果。所用的分析方法是这样的:首先,在全面计及各种残余阻抗影响的基础上,建立回路衰减量与通带边界频率的对应关系,然后用泰勒公式在谐振点附近展开。如果回路Q值较高,则截取展式的首二项就得到准确度足够高、形式颇为简单、又能充分反映Q值与残量关系的表达式。

　　二、论证过程

　　一台实际的Q表,它工作时测量回路的等效电路如图1所示[1,3,4]。回路主要由具有真实容量Ci、金属损耗电阻rc、残感Lc的调谐电容器及具有真实电感Lx、损耗电阻rx、分布电容Cd的外接线圈组成,并被角频率为ω的电势源E-激励。Ls、rs是信号耦合元件及a、b两个接线柱的等效残感和残阻。回路输出电压U-be由输入电阻为R、输入电容为Cm的Q电压表检测。其中R还包含调谐电容器的介质损耗。

　　我们进一步设定,ωc=1/LcCi、ωd=1/LxCd分别是调谐电容器及线圈的自谐振频率,并认为回路的固有残量与它的主参数相比足够地小。例如,Q标准线圈的分布电容Cd通常小于15pF,而一台设计优良的Q表,rs、rc一般小于20mΩ,L-s、Lc约2nH～10nH,Cm<5pF,R>200MΩ,因而,rc rx,Ls Lx,Lc Lx,Cm Ci。在规定的工作频率下常能满足rx ωLx,rc 1/(ωCi),R 1/[ω(Ci+Cm)],以及rc/R 1的条件。

　　线圈的有效电感Le,有效电阻re及有效品质因数QeL是[1]:

　　上式中的QTL=ωLx/rx称为线圈的真实Q值。

　　也可以用一个电容,即称为调谐电容器的有效电容Ce来等效Lc、Ci的电抗。

　　根据上述条件,可以证明图1中b、e间的阻抗

　　上式中的rR=1/(ω2C2R),而C称为回路的总有效电容

　　值得注意的是,上述各式的证明,并不需要引入ω2/ω2d 1或ω2/ω2c 1的强条件,例如一个QTL 50的Q标准线圈,只要满足ω2/ω2d 0.2,就能使式(1)和(2)以足够高的准确度成立。

　　于是,图1被变换成图2所示的简单串联谐振回路。回路的总有效电感

　　可以认为,主要由集肤效应引起的金属损耗等效电阻rc的数值正比于频率的平方根。因此,若信号频率为ω0时回路谐振,这一阻值是rco,而当频率变至另一数值ω后,rc将等于rcoω/ω0。rR则是由并联电阻R引入回路的等效损耗。随着频率的增大,这一阻值将迅速减少。事实上,一台精心设计的Q表,总是力求rc+rR与容抗1/(ωC)相比能小到足以忽略的程度,因此,实际上可以认为,回路输出电压U-be就等于总有效电容C的电压[1,2,5]。