薄板弯曲分析的多边形流形单元

    数值流形方法是将有限单元法和非连续性变形分析两种平行的数值方法统一于一体的新型、通用的数值方法。它基于流形覆盖技术，采用物理网格体系和数学网格体系，通过在分析域内的物理覆盖上建立一般覆盖位移函数加权求和形成总体位移函数，进而用构造的总体位移函数去逼近求解域的真实场函数，适用于求解连续介质和非连续介质的力学问题[1―2]。目前，国内外许多学者对流形方法进行了大量的研究。主要研究可以分为两大类：一是将流形方法加以推广和应用，例如，将流形方法应用于裂纹扩展和渗流分析；另一类是发展和完善流形方法。对于高阶三角形流形方法，采用的三角形单元具有网格生成复杂、小块物理覆盖形成数量多等缺点[3]。等参元四边形流形方法，采用直接将有限元的四边形等参元引入到流形方法中，积分复杂[4]。另外，当采用 C0阶局部覆盖位移函数时，其求解精度和传统有限元四边形等参元求解精度相同，无法克服四边形单元的剪切自锁等现象。对于高阶四边形的流形单元和 16 节点的流形单元，在一定程度上提高了求解精度，但需采用规则的矩形单元，对网格要求高[5―6]。对于新的三角形单元的覆盖方法，虽然在数值精度上有所提高，但计算量大，权函数构造复杂，仍存在一定的局限性[7]。

    多边形单元网格，能够更好地适应求解区域形状，并且可以减少单元数量，进而提高计算的效率。多边形单元尤其适合于非均质材料的数值模拟。为有效地模拟金属基颗粒增强复合材料的力学性能，美国学者 Ghosh S 及其合作者在 1994 年提出Voronoi 单胞有限元方法，该方法相比其他传统有限元方法有明显优点[8]。Delaunay 多边形剖分的Delaunay 多边形单元有理函数插值格式克服了有限元方法中边数大于 4 的单元多项式形式位移插值的困难[9]。Liu G R 等人提出了一种基于多边形网格的光顺有限元法，通过在求解域内建立带节点的光滑区域进行插值计算，构造相比于传统有限元方法更高精度和收敛性的有限单元[10]。Sukumar N 等人提出了一种新的协调多边形单元，该单元形函数形式简单，计算方便，其数值实验表明该插值方法具有良好的插值精度[11]。

    本文基于传统流形单元的局限性及多边形单元的优点，提出一种新的用于流形计算的多边形协调单元。

    1 流形方法总体覆盖位移函数的构造

    1.1 总体位移函数形式

    数值流形方法是通过数学与物理双重网格将整体研究区域剖分成有限个相互重叠覆盖的集合，然后在各个覆盖上独立定义局部覆盖位移函数，最后通过权函数将各个局部覆盖位移函数联接在一起，构造出整个求解域上的总体位移函数。