三激响应值不确定度的相关系数

    1　引言

    按照ISO对测量不确定度的表示,指南中所描述的方法,是现代计量学最为关切的问题,这种方法不仅应用于国际单位质量的直接测量,而且还应用于从它们中导出量的测量,颜色测量即为这种测量。它可以用图1所示的三激光谱响应函数x(λ),y(λ),z(λ)作为物理测量来描述。每一个刺激值均为波长λ的函数。这些函数用源光谱辐照度的卷积,计算三刺激响应值X,Y,Z。国际照明委员会的1931色坐标被定义为:

    x = X/(X+ Y+Z)        (1)

    y = Y/(X+ Y+Z)

    如果需要,将x,y计算转换成国际照明委员会1960均匀色空间的色品度坐标(u,v)或1976(u′v′),也可以将三激响应值换算成典型的CIE1976L*a*b*(CIELAB)〔2〕。

x(λ),y(λ)和z(λ)三刺激函数与光源的光谱辐射照度的卷积,通常以总和形式写为:

    X =Σ_iE_iX_i        (2)

    Y=Σ_iE_iY_i

    Z =Σ_iE_iZ_i

式中X_i、Y_i和Z_i是三刺激响应函数的表列值,可用于1nm或5nm〔2〕的波长间隔,Ei是波长i处的(相对)光谱辐照度,许多现代仪器可直接测量光谱辐照度,然后用或不用最初计算的三激响应值计算色品度坐标。带滤色探测器的三激色度计可以进行光学卷积。

    因为函数x(λ),y(λ),z(λ)相互交叠,他们的响应与光谱辐照变化是相关的,且对X,Y,Z不确定度项的色品度坐标的不确定分析必须把该相关性考虑进去,特别在三刺激色度计的情况中,其光谱辐照值是不适用的。三刺激值的不确定度相继由独立的光谱辐照读数计算出色品度坐标,它可以直接由读数的不确定项来估计。然而,在某些情况中,以X,Y和Z中不确定度项的不确定度分析是很方便的,这里也需要相关系数。

    下面一节,我们介绍如何推导相关系数,且用由光谱测量推导的色品度坐标(x,y)的不确定度的其他方法相对照来加以证实,应当强调的是下面的应用考虑了测量中的不确定度,只是引起源光谱分布变化的成分。推导出的(x,y)不确定度和其他各种光源的色品度坐标的分析式的再相关在别的文章中进行描述(3)。

    2　X,Y和Z之间相关系数的推导

    X和Y之间的相关系数rxy可用(下式)表示:

    r_xy= cov(X,Y)/u(X)u(Y)               (3)

式中u(X),u(Y)分别是X,Y的标准不确定度,cov(X,Y)是X和Y的协方差,r_xy和r_yz具有类似的表达式:

    公式(3)中协方差用下式表示:

    cov(X,Y)=E{〔X-E(X)〕〔Y-E(Y)〕}       (4)

    = E(XY)-E(X)E(Y) (5)

式中E代表预期函数〔4〕,于是