旋转铁木辛柯梁分布动态载荷的时域识别研究

　　不少梁形结构在发生弯曲变形的同时还承受轴向力的作用。例如，一些旋转梁结构在旋转状态下受到离心力的作用而产生轴向拉力[1]。因此旋转梁的总刚度除了含有弯曲刚度的成分外，还包含由于离心拉力对弯曲振动的影响所附加的几何刚度。很多情况下，工程人员对旋转梁上的动载荷无法直接测量，故需要载荷识别技术间接的去确定其动载。目前针对旋转 Timoshenko 梁结构的动载荷识别技术研究在动力学领域几乎处于空白。一般动载荷识别方法主要分为频域法和时域法两大类。频域法发展比较成熟，其基本思想是由响应谱识别激励谱，主要有频响函数求逆法、模态坐标变换法、逆虚拟激励法[2 ～4]等。时域法发展较晚[5 ～7]，是直接根据结构的响应历程来识别载荷的时间历程。给出旋转弹性梁振动微分方程及有限元形式，引入广义二维正交多项式理论[8]，利用基于正交多项式的动载时域识别技术对旋转弹性梁分布动载进行辨识。最后，对其识别公式进行了算例验证。

　　1 旋转 Timoshenko 梁振动微分方程及有限元分析

　　旋转梁的动力学特性受很多因素的影响。如果各种因素都考虑到，动响应的求解和动载荷识别会非常复杂。笔者所讨论的旋转 Timoshenko 梁识别理论考虑剪切变形和转动惯量的影响，而忽略整体机构运动和局部弹性变形的耦合效应。

　　受到轴向力T( x) 为作用的均匀材料等截面直梁，如图1 所示，其受迫振动基本方程为

式中: θ 为法线转角; 剪切校正因子β =5/6。

　　如果轴向力是旋转产生的离心力，那么上式中的 T 改写为

　　Timoshenko 梁的静态挠度由两部分构成: 一部分是与 Bernoulli-Euler 梁相同的纯弯曲部分; 另外一部分是剪切弯曲部分。如果形函数选取 Timosh-enko 梁的静态解，则挠度的形函数为

式中: 是单元的长度; Φ 是区别Bernoulli-Euler 梁和梁的重要标志，当Φ 为零时，以上两形函数就蜕变为 Bernoulli-Euler 梁的形函数。Φ 的表达式为

　　上式中的第一部分是纯弯曲引起的刚度，第二部分是剪切引起的刚度。梁的旋转离心力产生的拉力产生的几何刚度矩阵是

　　将式形函数代入到式( 9) 和式( 10) 中可得到刚度阵和质量阵的显式表达式，以上积分均可通 Mat-lab 程序中的积分函数得到具体数值。旋转梁单元的弯曲刚度矩阵和几何刚度矩阵之和 Ke+ Kg是单元的刚度矩阵。将单元的质量矩阵和刚度矩阵组合成总体质量矩阵 M 和总体刚度矩阵K，则旋转梁的有限元振动方程可表示为

　　由上述方程可知，旋转梁质量矩阵不随时间变化，而刚度矩阵随梁的转速变化而变化。当 C 为比例阻尼，即C = αM + βK，则阻尼矩阵也随梁的转速变化而变化。因此对于比例阻尼系统，当转速为匀速时，系统为时不变系统; 转速为变速时，系统为时变系统。