组合断面薄壁杆件弯扭耦合分析

　　薄壁杆件结构具有强度大、质量轻、易加工等优点。作为一种经济合理的断面形式在建筑结构、桥梁结构等许多工程中应用广泛，特别是在钢结构领域中的应用尤其普遍。由于薄壁杆件结构同时存在弯曲、扭转、翘曲变形，使得对它进行分析变得十分复杂。国内外许多学者在这方面做了大量的研究工作[1―7]。近年来哈密顿对偶体系在结构和构件力学分析方面的应用取得了一定的进展[8―10]，本文从变分原理出发，由勒让德变换引入对偶变量，建立了组合断面薄壁杆件结构弯扭问题的哈密顿对偶求解体系，将组合断面薄壁杆件结构弯扭耦合分析的控制微分方程转化为一阶微分方程组，用精细积分法求出该体系的高精度数值解。本文提出的这种方法使用的数学工具简单，思路清楚，且计算精度高。

　　1 基本假定及计算模型

　　讨论由n个薄壁杆件组合成的组合断面薄壁杆件结构弯扭耦合分析问题。采用符拉索夫刚周边假定，库尔布鲁纳-哈丁理论对纵向翘曲位移的假定与弯曲时的平截面假定，放弃了符拉索夫关于沿杆壁中心线剪应力为零的假定。考虑由双向弯曲引起的纵向位移和扭转引起的翘曲位移，双向弯曲和扭转所产生的切向位移。组合断面如图1所示，不失一般性，图1中仅画出了第i 个薄壁构件。

　　整体坐标系 Oxyz 的原点 O 为组合断面的形心， z 轴为形心轴且沿杆件长度方向。第i 个薄壁杆件的局部坐标系i i i iO x y z 的i iO z 轴通过第 i 个薄壁杆件断面形心且沿杆件长度方向，i i i iO x 轴、O y轴分别为构件截面的形心主惯性轴。s 为壁厚中心线的自然坐标。整体坐标系与局部坐标系均为右手系，整体坐标系的Ox 轴与第i 个局部坐标系的i轴的夹角为iα 。假设 E 和G 为材料的弹性模量和剪切模量。xq 、yq 、 m 为组合断面薄壁杆件所受的 x 和 y 方向的水平分布荷载和绕 z 轴的分布扭矩，xq 与yq 的作用线通过组合断面的形心。it 为第i 个构件的厚度，l 为构件长度。six 和siy 分别为第i 个杆件断面扭心在整体坐标系中的坐标， ( )ix s 和( )iy s 分别为第 i 个杆件断面中线上任意点 P 在局部坐标系中的坐标， ( )iω s为 P 点以扭心为极点的扇性坐标，( )ih s 为 P 点的切线到断面扭心的距离。0u ( z )和0v ( z )分别为组合断面形心(即原点 O )沿 x轴和 y 轴的位移， ( )iu z 和 ( )iv z 分别为第 i 个杆件扭心iS 沿ix 轴和iy 轴的位移， ( )xiθ z和 ( )yiθ z分别第i 个杆件断面绕ix 轴和iy 轴的转角， ( z)为断面绕iz 轴的扭转角， ( )iθ z为第 i 个杆件断面的翘曲函数。

　　由刚周边假定，第i 个杆件扭心iS 沿ix 轴和iy轴的位移 ( )iu z 与 ( )iv z 可分别为：