两构件冲击接触过程的理论与数值模拟

    运动构件间的冲击接触现象普遍存在于航空、航天和兵器等领域，随着工程设计的实际需要，冲击接触问题越来越受到重视。构件间的冲击接触过程是一种复杂的非线性运动过程，多年来国内外专家对冲击接触过程进行了大量研究，建立了多种冲击接触模型。其中采用基于 Hertz 理论的等效弹簧－阻尼描述冲击过程的方法得到了广泛应用。如，Kelvin和 Voigt 提出的线性弹簧 －阻尼模型，Hunt 和Crossely 的非线性弹簧－线性阻尼模型，Lankarani 和Nikravesh 的非线性迟滞阻尼模型等［1－6］。由于冲击接触过程的复杂，各模型的适用范围均较小［1］。本文主要研究球面冲击体与平面被冲击体间冲击速度小于10 m/s 的非高速冲击接触。

    1 冲击接触理论模型

    Hertz 理论给出了接触力的解析解，是一种常用的接触理论模型。本文采用非线性弹簧阻尼模型建立两构件的冲击接触模型，使用特殊材料和形状的冲击体冲击被冲击体，几何模型如图 1 所示。冲击体接触面形状为半球面，材料分别为橡胶、铝合金、合金钢，材参数如表 1 所示［3－6］。被冲击体材料为合金钢，接触面为平面。模型中，忽略切向摩擦力作用，只考虑法向接触力。加载条件为:冲击体质量 5 kg，冲击初速度 4 m/s; 冲击体质量2 kg，冲击初速度 10 m/s; 加载动量相同。接触模型中将接触过程分为变形和恢复两个阶段。

    根据非线性阻尼弹簧接触模型，相互接触的两物体可用一个弹簧与一个非线性阻尼器模拟接触:

式中: F_n为接触点处法向接触力; K_n为等效接触刚度; δ 为接触点法向变形量; C( δ) 为与 δ 有关的阻尼系数;δ 为接触点法向相对速度; F_k表示弹簧力; F_c表示阻尼力［1］。

    用式 ( 1) 计算接触力，首先需要确定 Kn和 C( δ) 。根据 Goldsmith 和 Lankarani、Nikravesh所提出的模型，则有:

式中: R*为等效接触半径，R*= R₁R₂/ ( R₁+R₂) ;σi为材料参数，且 σ_i= ( 1 －ν2_i) /E_i( i=1，2) ，ν_i、E_i为材料的泊松比和弹性模量; e 为恢复系数; v₀为冲击初速度［2］。

    设接触区域材料不发生堆积和沉陷，根据Johnson 的恢复系数模型，恢复系数可表示为:

式中: 1/m*= 1 / m₁+1 / m₂，m*为等效质量［3］。该模型中被冲击体与地相联，m*→m，即等效质量近似于冲击体质量。

    式( 1) 为二阶微分方程，求其解析解较困难，本文利用积分迭代法求方程的数值解。图 2 为一条典型的接触力－变形量迟滞回线。用 ds 表示某段变形范围内接触力所消耗的能量，为: