充气薄膜结构的SMS展开分析方法

　　空间充气展开结构由于质量轻、包装体积小、成本低和展开可靠性高等优点越来越受到重视，成为目前研究的焦点[1]. 一些空间任务也已考虑使用这种轻型的充气结构，如充气支撑管、太阳能防护罩、太阳能集中器、ITSAT 计的太阳帆板、太阳帆和 FLAPS 天线等[2 -3]. 由于展开研究的复杂性和难于预测，目前都采用有限元方法来研究充气结构在空间环境下的展开过程[4]. Haug 等[5]采用汽车气囊模型，使用显式非线性有限元软件PAM - CRASH 对 SAT2 天线支撑环和反射面行了充气展开模拟. Wang 等[6]用 LS - DYNA 有限元动力学软件计算了 Z 形折叠和卷曲式折叠两种管内的气压和体积随时间的变化. Salama 等[7]采用通用非线性、大变形的有限元软件 LS - DY-NA 对充气管的展开过程进行了模拟. 刘晓峰[8]采用多体动力学模型计算了 Z 形折叠管的展开动力学特性. Lienard 等[9]采用 MSC - Dytran 有限元程序对卷曲式折叠管进行了展开动力学分析.Fang 等[10]采用气体动力学和多刚体运动学对卷曲折叠管进行了展开动力学研究. 研究发现这种方法的主要缺点是充气速度太快，不能真实地模拟充气结构的展开.

　　本文采用基于能量函数的弹簧 - 质点系统方法[11]，并针对充气结构的特点，作了以下改进:将薄膜材料的特性引入模型之中，考虑充气以及折叠处展开弯矩的影响. 该方法具有建模简单、计算效率高、数值稳定性好以及节约计算机时的优点.

　　1 SMS 方法

　　1. 1 基本理论

　　SMS，即弹簧 - 质点系统，是首先将结构表面划分为很多个三角形单元，并假定三角形单元的3 个顶点为质点，3 条边长用弹簧代替. 初始状态中弹簧长度为原长，运动过程中弹簧的长度发生改变，弹簧中存在内力. 质点在弹簧内力和外荷载的作用下，最后运动到平衡状态.

　　质点的质量由三角形的面积确定，即

　　式中:ρ 为膜材面密度; Ak为围绕质点 i 的第 k 个单元的面积; s 为围绕质点 i 的单元个数;φi为单元每个顶点对应的内角.

　　将薄膜的膜面内力等效为弹簧内力. 基于材料力学，分析三角形单元的应变和 3 条边的伸长之间的关系. 如图1，三角形单元的局部坐标系 x'，y'和材料坐标系 x、y 在同一个平面上.

　　假设应变是由小位移产生，根据材料力学的摩尔圆理论，三角形在沿杆元 N1N2，N2N3，N3N1方向的应变

　　式中:εx，εy分别为在 x，y 方向的应变，γxy为剪切应变;εi=δili为3条边的应变，δi和li分别为对应边的伸长量和原长;θi是三角形单元对应边和 x轴的夹角. 从上式解出 εx、εy、γxy，得

　　式中: