区间参数刚架结构动力特性分析的区间因子法

　　结构系统的动力分析是结构动力学中十分重要且最为基础的问题,他反映了结构系统的动态特性,是结构动力优化设计中的追求目标或约束条件。对于确定性结构的动力分析已具有成熟的理论、方法和工程计算软件[1]。

　　此外,在工程实际中,还广泛存在着不确定变量:随机变量[2]、模糊变量[3]、模糊随机变量[4]和区间变量。对不确定变量进行划分的主要依据是获得不确定信息量的多少以及主、客观因素。如果获得的用于确定变量概率分布或几个变量联合概率分布的信息足够充分时,就用概率的方法进行处理;但如果不确定性的产生主要源于人们的主观认识,如由于测试方面的困难,不能获得足够的实验资料而产生不确定性或因人们对客观事物的认识不清晰而造成的不确定性等,则一般按模糊因素处理更为合适;更有甚者,当结构参数的信息非常少,仅其不确定取值的上下界已知时,则只能用区间的方法来处理。关于区间参数结构的有限元分析, Ben-Haim[5]和Elshakoff[6]等提出了一种非概率的凸集模型或反优化模型。他将不确定参量视为有界,将其包含在一凸集合中,并通过集合运算和优化设计,求解结构响应所在的范围。类似的思想被一些学者用于不确定结构的区间分析中[7-10]。当结构的不确定参数能用区间限界时,可将区间模型和传统有限元方法相结合,建立起区间有限元方法。如文献[10]基于上述思想将区间有限元静力控制方程中n个自由度不确定位移特征参数的求解归结为求解一2n阶线性方程组。文献[11]则提出了一种较为简便的区间因子法并将其应用于带有区间参数结构的静力分析中。实际上,在工程实际应用中,工程人员往往更加关心工程结果所在的取值范围以及其取值极限是否超出了允许的阈值。因此,研究区间参数刚架结构的动力分析模型及其求解方法具有现实的工程背景和理论意义。

　　1　区间参数刚架结构的刚度、质量矩阵分析

　　由有限单元法可知,对平面刚架(梁)结构,单元的刚度矩阵[Ke]为

　　式中:E为单元材料的弹性模量;A为单元的截面积;I为单元的截面惯性矩; l为单元长度。

　　由于结构单元刚度矩阵中,各元素所含单元长度参数的幂次不同,因此不能像桁架结构的刚度矩阵一样直接将其提出矩阵之外。现根据矩阵理论,将单元刚度矩阵按各参数因子幂相等的形式予以展开

　　上式被记为

　　考虑到结构中各单元材料相同,且结构的物理参数(E、ρ)和几何尺寸(I、A、l)同时为不确定变量,则根据区间因子法[11]可把他们写成各自区间因子与确定性量乘积的形式:E=E~E#,ρ=ρ~ρ#,I=l~I#,A=A~A#, l=l~l#。其中:E~,ρ~, l~,A~, l~分为各参数的区间因子,其均值均为1。不确定取值区间分别为: [E~L=EL/E#, E~R=ER/E#], [ρ~L=ρL/ρ#,ρ~R=ρR/ρ#],[ l~L=IL/I#,l~R=IR/I#], [A~L=AL/A#,A~R=AR/A#]和[ l~L=lL/l#, l~R=lR/l#]。其中:EL,ER,ρL,ρR, IL, IR,AL,AR, lL, lR分别为区因子E~,ρ~, l~,A~, l~各自对应的取值上限和下限。从而式(2)可表为