Euler梁的无网格求解方法探讨

　　无网格法^[1~3]基于节点信息建立近似形函数,不需要节点间的有序拓扑连接并且形函数具有任意高阶的整体协调特性.对于解决传统有限元法求解较困难的问题,如大变形问题的网格畸变,裂纹扩展与自适应,高阶控制方程等,无网格法都有着独到的优势,在过去十余年被发展应用到诸多领^[4,5].Krysl和Be2lytschko首先将基于挠度的单变量无网格法应用到薄板分析中^[6],Atluri等人同时考虑了挠度和转角两个变量,建立了广义移动最小二乘近似并将其应用到MLPG法中求解Euler梁问题.这两种方法的形函数都是建立在固定基函数和移动最小二乘近似基础上,但两者的区别尚未见诸于文献.

　　无网格法中常用的移动最小二乘近似和再生核子近似都可归纳到再生条件的理论框架下.本文从无网格近似的再生条件出发,提出了同时考虑挠度和转角双变量近似的一种新的推导方法,与原有方法相比更加简便直接,更重要的是这种方法采用了移动基函数来构造无网格形函数.它与先前利用固定基函数所构造的形函数虽然在数学意义上是等价的,但数值计算中形函数包含的系数矩阵有更好的条件数,能更准确地满足再生条件.另外由于无网格法的形函数与有限元形函数不同,通常不是插值函数,因此对位移边界条件需要特殊处理,例如Lagrange乘子法^[6]和罚函数法^[7].但Lagrange乘子法会导致非正定的刚度矩阵,罚函数法对罚函数较为敏感,容易引发病态刚度矩阵.

　　本文把单考虑位移变量的转换法^[3]推广到了同时考虑挠度与转角影响的双变量无网格近似,将广义节点变量转换为真实的物理节点量,这样就可以与有限元一样方便地施加挠度和转角边界条件,同时也没有改变刚度矩阵的对称正定性.

　　1　基于再生条件的双变量无网格近似

　　令Euler梁所占的区域为Ω= (0,L),其边界为.无网格近似被离散为一组节点x_I,I =1,2,…,NP是总的节点数.每个节点包含两个基本信息,即挠度变量wI和转角变量θ_I,注意到无网格近似通常不是插值函数,因此wI和θ_I并不是真实的物理节点值.在无网格近似中,如常用的移动最小二乘或再生核子近似,都可以归纳到满足再生条件这个理论框架下.这里需要建立的是同时考虑挠度变量wI和转角变量θI的无网格挠度近似

　　由式(7)我们有b(x)=M-1(x)h(0),最终无网格形函数的具体表达式变为:

　　到目前为止我们讨论的都是考虑挠度和转角的双变量近似,若采用单变量插值,即,

同样利用再生条件=1,2,…,n,可以导出移动基与固定基对应的形函数为: