功能梯度压电旋转圆环的三维解析解

　　功能梯度压电材料由于兼机电耦合与材料性能可连续变化的特性在机电、航空等领域受到广泛重视.旋转圆环(盘)是传动机械、仪表、仪器的基本结构原件之一,寻找其解析解,进行应力优化设计,一直为研究者关注.文献[1, 2]用通解法给出均匀横观各向同性弹性和压电弹性旋转圆盘的三维解析解.文献[3]用半解析法研究变厚度的功能梯度压电旋转圆盘问题,文献[4]用半解析法研究各向同性功能梯度旋转圆环的热应力问题,其弹性性质是径向坐标r的函数.文献[5, 6]用直接位移法研究横观各向同性功能梯度旋转圆盘、圆环问题,给出了三维解析解,其弹性参数是轴向坐标的任意函数.本文将文献[6]的解推广应用到横观各向同性功能梯度压电旋转圆环,得到三维解析解.文中功能梯度压电材料的参数可沿圆环厚度方向任意变化,并通过材料参数变化影响圆环中的应力与电位移分布,给出的解析解对压电圆环类器件的优化设计有借鉴意义.

　　1 基本方程

　　对于轴对称问题,用柱坐标系表示的横观各向同性功能梯度压电材料本构关系为

　　以上公式下标中的逗号表示对紧随坐标求偏导数,σr,σH,σz和τrz是应力分量;σr和σz是电位移分量;u,w分别是径向和轴向位移,Φ是电势;Fr和Fz分别是径向和轴向(厚度方向)的体力; cij= cij(z)是弹性参数, e_ij=e_ij(z)是压电参数,ε_ij=ε_ij(z)是介电参数(i, j=1,2,,,5);ρ=ρ(z)是材料密度.

　　2 边界条件

　　以角速度X匀速旋转的横观各向同性功能梯度压电圆环如图1.设外、内半径分别为a和b,厚度为h,则在式(4)中有Fr=ρrX²,Fz=0.旋转圆环的边界条件为

　　3 控制方程及其解

　　取广义位移分量(位移和电势)为

　　将式(13)和式(17)分别积分,并利用式(21)和式(28),均可解出w'⁴积分,得w4=a7.其中,a7是积分常数.将w4=a7代入式(9)并积分得

　　其中,a6是积分常数.将w4=a7式(30)分别代入式(12)和式(16)积分,并利用式(20)和式(27)可求出w'2和Φ’2,积分得到

　　将式(31)、式(32)和式(37)代入式(11)和式(15),积分并利用式(19)和式(26)得

　　其中,积分常数w00为刚体位移;积分常数Φ00是参考电势,对应力和电位移无贡献.而当n =0,1时,有

　　将式(14)和式(18)分别积分并利用式(22)和式(29),求出Bc后积分得

　　其中,a2是积分常数.将式(47)代入式(10)积分并利用式(25)可得