旋转功能梯度压电空心圆柱的精确解

　　高速旋转的构件会产生很大的离心力,一旦构件破坏,碎片飞出时将有很大的动能,破坏力极强,因此精确分析旋转构件的力学行为有重要的意义.功能梯度材料由于具有改善结构力学性能的特性,在现代科技和工程中的应用越来越多,同时对其的研究工作也越来越受到研究者的重视.Horgan等人[1]研究了旋转功能梯度各向同性弹性圆盘的力学行为;E-l Naggar等人[2]分析了旋转功能梯度正交各向异性弹性空心圆柱内的热应力;Zenkour[3]给出了有刚性外套旋转功能梯度圆环的精确解;Kord-kheili等人[4]给出了旋转功能梯度圆盘热弹性解.

　　智能材料由于具有特殊的力-电耦合特性在各类电子装置和智能系统中有广泛的应用,对功能梯度智能材料的基础研究工作也已有不少:Galic等人[5]给出了径向极化旋转压电均匀空心圆柱的精确解;Hou等人[6]得到了功能梯度压电空心圆柱的轴对称平面应变弹性动力学解;Sarma[7]研究了有限长功能梯度压电空心圆柱内的扭转波;陈江瑛等人[8]给出了旋转磁电弹性圆环和圆盘的三维解.

　　本文中给出了内外表面受均布压力和电势共同作用时旋转功能梯度径向极化无限长压电空心圆柱的精确解,当令材料的非均匀参数等于零时,该解可以退化到文献[5]的情形.

　　1 基本方程

　　考虑一个绕其中心轴以匀角速度X旋转的无限长功能梯度压电空心圆柱,内外半径分别为a和b,其横截面构型如图1所示.对于晶类是mm2型的径向极化压电晶体,本文考虑的是轴对称平面应变情形,在柱坐标系下,不等于零的位移分量仅有u_r,且电势Φ仅是径向坐标r的函数.其本构关系为[5]

式中:σ_ii(i=r,θ)和D_rr分别是应力和电位移,c₁₁、c₁₃、c₃₃是弹性常数,e₃₁和e₃₃为压电常数,ε₃₃为介电常数.若不考虑自由电荷密度,平衡方程及高斯方程分别为

式中:ρ为物质密度.假设空心圆柱内外表面分别作用法向应力Q_a和Q_b以及电势Φ_a和Φ_b,则边界条件即为

式中:α表示材料的非均匀参数,可以是任意合理的数;C_ij、E_3j、和ρ₀是常数.

　　2 求解方法

　　为简便起见,引入如下参数来无量纲化上述基本方程:

利用式(6)和(7),方程(1)~(5)可改写为

式中:D₀是待定常数.利用式(13),方程(8)的第三式可改写成

式中:A和B是待定常数,且

将式(18)代入式(15),可得应力表达式为