有限变形弹性体变形时边界力的处理

　　一些类橡胶材料^[1]在弹性变形时,变形尺度与原几何尺寸相比非无限小,这类弹性变形称为有限弹性变形^[2,3]在有限弹性变形中,弹性体的边界形状将发生明显的变化,作用在边界上的边界力将随弹性体的变形而发生相应的变化。在用非线性有限元进行类橡胶材料的有限元分析时,必须考虑到边界力的变化因素。本文应用有限弹性理论,讨论了边界力在物质坐标系和空间坐标系的数学关系及在半无限平面上边界力增量的表达式。这些解析表达式可用于对类橡胶弹性体的非线性有限元分析中。

　　1　作用在有限弹性体边界上的力在2个坐标系中的解析表述

        设D是一物质平面区域,其物质坐标是(X₁,X₂)的质点经变形达到空间坐标为(x_1'x₂)的位置,变形可描述为如下变换:

　　该变换把区域D变换到同一平面上的d。设F_aA是对应于变形的变形梯度张量F之分量,

　　其基本不变量取作

　　式中,Λ1和Λ2是2个主伸缩比。同Cauchy应力张量τ对应的Piola应力张量σ定义为

　　这里,F-1是F的逆张量。在无体力作用的情况下,藉助于Piola应力,平衡方程可写成

　　设C是D中的一条曲线,该曲线可以是所研究对象的轮廓线,该曲线定义为

　　式中,L是沿着曲线C度量的弧长,C的单位切向矢量S和单位法向矢量N可以用各自的分量来表示:

　　在映射式(1)下,C在d中的象c可以定义成

　　式中,l是沿着c度量的弧长,c的单位切向矢量和单位法向矢量的分量分别是

　　作用在微元弧段dl上的表面力为

　　式中,T和t是Piola和Cauchy表面牵引力矢量,τab和σaA是Cauchy和Pilola应力分量。

　　2　有限变形状态的边界表面力的增量表达

　　在有限变形状态上叠加一个小增量变形,其方程可写成

　　式中,λ1,λ2是描述均匀变形的主伸缩比,u1,u2是叠加其上的小增量变形。u1,u2以及它们的导数都可以视为小量。因此,在以下的运算中,ua的二阶及二阶以上的非线性项均可以不计。

　　在半无限体的表面X2=0上,单位矢量S和N的分量分别为

　　由(12)式、(13)式和(15)式得

　　一量冠以“。”或“·”分别代表该量对于主变形及其增量部分。这样作用于边界面上的增量Piola表面力和增量Cauchy表面力分别沿变形前后边界的法向和切向分量计算如下:

　　将(10)式、(13)式、(19)式和(20)式代入(24)式且考虑到

　　则在边界上有

　　至此,得到了在空间坐标中边界表面力的增量Piola表达式。